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北京高一数学竞赛获奖名单

时间:2016-04-21 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:2015年全国高中数学联赛北京总名单

2015年全国高中数学联赛

北京赛区获奖名单

一等奖(50名)

二等奖(146名)

三等奖(151名)

篇二:北京市高一数学竞赛(解析版)

2008年北京市中学生数学竞赛

一年级初赛试题

2008年4月13日

8︰30~10︰30

亲爱的中学生朋友:

欢迎你参加本次竞赛活动﹗

中国的未来需要众多的人才,人才的培养需要从青少年时代奠基,打好数学基础有助于从事各行业的发展。北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活,激发学习兴趣,普及科学精神,提高能力水平。祝你插上数学的翅膀,在科学探索的空间展翅翱翔。

注意事项

1.本次考试共有14个小题﹙6个选择,8个填空题﹚,把答案填写在下面标有题号的空格内。

2.不允许使用计算器。

3.监考员宣布考试结束时,请你私下本页,填好所要求填写的项目,交给监考员。

以下由考生填写

姓名__________________性别______考号_____________ 校名______________________________年级___________

以下由评分者填写

本次考试该生所得分数是__________

2008年北京市中学生数学竞赛

高一年级初赛试题

一 、选择题﹙满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方,答对得6分,答错或不答均记0分﹚

1.设函数f?x?对x?0的一切实数均有f?x??2f??

﹙A﹚2006. ﹙B﹚2008. ﹙C﹚2010. ﹙D﹚2012. 2. cos310,tan460,sin810,sin1130的大小关系是

﹙A﹚cos310?tan460?sin810?sin1130.

﹙B﹚sin810?cos310?sin1130?tan460.

﹙C﹚cos310?sin1130?sin810?tan460.

﹙D﹚tan460?sin810?cos310?sin1130.

3.已知abc?0,则在下列四个选项中,表示y?ax2?bx?c的图像只可能是

2008??3x,则f?2?等??x?

a2?1??4.对非0实数a,存在实数?使得cos??成立,则cos?????的6??

值是

﹙A

﹚﹙B﹚1. ﹙C

﹚﹙D﹚?1. ?5.已知?,?分别满足??1g??1004,??10??1004,则???等于 ﹙A

﹚ ﹙B﹚1004. ﹙C

﹚.﹙D﹚2008. 6. cos0?cos??cos2??cos3??cos4??cos5??cos6?等于 ﹙A﹚4.﹙B﹚3. ﹙C﹚2.﹙D﹚1.

二 、填空题﹙满分64分,每小题8分,请将答案填入第一页指定地方﹚

1.求1og2111?1og3?1og5的值.125323

??2.

如果sin??cos??tan?????的值.3??

3.在右图的圆中,弦AB,CD垂直相交于E,若线段AE,EB和ED的长分别是2厘米,

6厘米和3厘米,试求这个圆的面积.

4.以?x?表示不超过x的最大整数,试确定

??sin1?????sin2?????sin3?????sin4?????sin5??的值.

5.已知直角三角形ABC斜边AB

计算AB?AC?BC?BA?CA?CB.

6.已知集合A?xx2?6x?8?0,B?xx2?ax?7?0.若AB??,

确定实数a的取值范围.

7.分别以锐角三角形ABC的边AB,BC,CA为直径画圆,如图所

????

示.

已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w平方厘米,在 三角形内的阴影曲边三角形面积为u平方厘米,试确定三 角形ABC的面积.

8.已知正整数n与k使得5n?2500?k2成立.试确定不小于整数的值.

lgk的最小

篇三:2013年北京市中学生数学竞赛 高一组

2013 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

选择题答案 1 D

2 B

3 B

4 A

5 C

6 A

填空题答案

11

2

3 4

4 128

5 11

6

7

8

2m 2 n 2 (m + n) 2

2

1 ?19

1024

6 {1979, 1985, 1991, 2003} 3

一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号 填入第 1 页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均计 0 分) 1.已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5},B={2, 3, 4, 5, 6},则集合

C={(a, b)|a∈A, b∈B, 且关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实根} 的元素个数为

y(A)7.(B)8. (C)9. (D)10. ?解 当 a>0,b>0 时,x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为6a≥b.y=x

5? 而D设集合 D={(a, b)|a∈A, b∈B}, 的元素个数为 5×5=25 个, C 是 D 的子集,· 因此,

集合 C 的元素如下面的整点图中的黑点所示:4?

·· 因此, C 的元素个数等于 10.

2? 3?

2.已知 24 ? a ? 8 ? a = 2 ,则 24 ? a + 8 ? a 等于

1?···

(A)7. (B)8. (C)9. (D)10.

2 2

( 24 ? a )(? 8?a ) 24 ? 8

解 24 ? a + 8 ? a = = = 8. 24 ? a ? 8 ? a

2

3.如图所示,矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 O,3k + 1

y y=

x3k + 1

····

? ?? ?? 1 2 3 4 5

x

矩形的边分别平行于坐标轴,点 C 在反比例函数 y =的HCBx

图像上,若 A 点的坐标为(?2, ?2),则 k 等于 OxFG (A)2.(B)1. (C)0. (D)?1.AD

E解 因为矩形的对角线平分矩形的面积,所以 矩形 CHOG 的面积 = 矩形 OFAE 的面积 = |?2|×|?2|= 4.

4.定义在 R 上的偶函数 f (x),满足 f (x+1)=?f (x),且在区间[?1, 0]上递增,则 即 3k+1=OG×GC= 4,因此 k =1.

(A) f (3) < f ( 3) < f (2) . (B) f (2) < f (3) < f ( 3) .

(C) f (3) < f (2) < f ( 3) . (D) f (2) < f ( 3) < f (3) .

解 根据题意 f (x)=?f (x+1) =?[?f (x+2)]= f (x+2),因为 f (x)是偶函数, f (a)= f (?a),即 则 f (3) = f (1) = f (?1) , f (2) = f (0) , f ( 3) = f (? 3) = f (2 ? 3) = f ( 3 ? 2) . 而 ?1< 3 ?2<0,f (x)在区间[?1, 0]上递增, 所以 f (3) < f ( 3) < f (2) .

5.由 1 开始的连续 n 个正整数相乘,简记为 n!=1×2×…×n, 如 3!=1×2×3=6,1234567 10!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800 等等,则 + + + + + + 等于2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 71950394031940321

(A).(B).(C).(D). 72050404032040320 n ?1 n 111 解 因为=?=? ,所以 1234567 n ! n ! n ! (n ? 1)! n ! ++++++

2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

?2 1? ?3 1? ?4 1? ?5 1? ?6 1? ?7 1? ?8 1? = ? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?

? 2! 2! ? ? 3! 3! ? ? 4! 4! ? ? 5! 5! ? ? 6! 6! ? ? 7! 7! ? ? 8! 8! ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1??

= ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ?

? 2! ? ? 2! 3! ? ? 3! 4! ? ? 4! 5! ? ? 5! 6! ? ? 6! 7! ? ? 7! 8! ?1140319 = 1? = 1?=.

8!40320 40320

?

6.如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,P 为劣弧 CD 上一点,PAP 交 BD 于点 M,PB 交 AC 于点 N,记∠PAC=θ,若 MN⊥PA,则 D M2cos2θ?tanθ的值等于

C N O

B

122 (A)1. (B)

. (C) . (D).θ224

解 A ∴ ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∵ ∠ACB=45o,DB⊥AC, ∴ ∠APB=∠ACB=45o, ∵ MN⊥PA,∴ ∠MNP=∠APB=45o,∴ MP=MN. ∴ AC 为圆的直径,∴∠APC=90o,∴P、M、O、C 四点共圆. AM·AP= AO·AC.因此

2AO 2 MN 2 ? AO 2 ? AM ? MN

2cos θ?tanθ = 2 ??=

AM 2 AMAM 2

AO ? AC ? AM ? MN AM ? AP ? AM ? MN ==

AM 2AM 2 AP ? MN AP ? PM ===1.

AMAM

二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第 1 页指定地方) 1.求

sin 2 30? + sin 2 35? + sin2 40? + sin2 45? + sin2 50? + sin2 55? + sin2 60?tan 36? × tan3 39? × tan5 42? × tan7 45? × tan5 48? × tan3 51? × tan 54?

的值.

1

, 2

n 为正整数时,tannα×tann(90o?α)= tannα×cotnα=(tanα×cotα)n=1,tan45o=1, 解 注意到 sin2α+sin2(90o?α)= sin2α+cos2α=1,sin245o=

sin 2 30? + sin 2 35? + sin 2 40? + sin 2 45? + sin 2 50? + sin 2 55? + sin 2 60? = 3.5 .tan 36? × tan 3 39? × tan 5 42? × tan 7 45? × tan 5 48? × tan 3 51? × tan 54?

2.f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f (x)=2 x +2x+b (b 为常数),求 f (?10)

的值.

解 因为 f(x)为定义在 R 上的 奇函 数,所以 f(0)=0,即 2 0 +2×0+b=0,得 b=?1. 由奇函数的性质 f (?x)=?f (x),有

若 x<0,即?x>0,则?f (x)= f (?x)=2?x?2x?1, 即 f (x)= ?2?x+2x+1 (x<0). 所以 f (?10)= ?2?10?2×10+1= ?

11

? 19 = ?19. 10241024

3.若实数 x, y, z 满

北京高一数学竞赛获奖名单

足方程 x + 9 + x ? 7 + 位数字.

解 易见 x≥7,则

x+ y? z

= 4 ,试确定(5x+3y?3z)2013 的末 4

x+ y?z

≥ 0 , 又 x, y, z 满 足 方 程 4

x+9+ x?7 ≥4,而

x+ y? zx+ y?z

x+9+ x?7 +=0.= 4 ,所以 x + 9 + x ?

7 = 4,且

所以 x=7,x+y?z=044 ,(5x+3y?3z)2013 =142013,这个数的末位数字为 4.

4.如右图,正方形 ABCD 被分成了面积相等的 8 个三角形, D 如果 AG= 50 ,求正方形 ABCD 面积的值.

解 过 F 作 KL//DC,取 AB 的中点 N,延长 GN 交 AH 于 P, 设正方形 ABCD 的边长为 a,

1

由于△DCI、△ABH 的面积都是正方形 ABCD 面积的 ,所 D 8K 1a

以 CI=BH= BC= .

由△ADF 的面积=△DCL 的面积的 2 倍,得 E44

A

F G P A

N E

G F

C I H B C

L I H B

1

a. 所以 F 为 DI 中点. 2

易见,E 是 AF 的中点,由△FAG、△FHG 的面积相等,可得 AP=PH,即 FP 为△ 所以 KF=2CI =

11AD × KF = 2 × CD × CI 22

FAH 的一条中线,因此 F、P,N 是一条直线.

同理可证,HG 的延长线必过 AE 的中点 E,所以 HE 为△FAH 的另一条中线,中线

1

FG . 2

FP 与 HE 的交点 G 为△FAH 的重心, GP =

1

HI + AD 2 a + a 3a

注意 FP 为梯形 AHID 的中位线,FP//BC,所以 FP ===,所以 224 1aa a 3a

GP = FP = ,所以 GN = GP + PN = + =. 3448 8 2 2

a25a 225a 2? a ? ? 3a ?2而 AN= ,根据勾股定理, AG = ? ? + ? ? =有, 50 =即,所以 a2=128. 26464?2? ? 8 ?

5.已知实数 m、n 满足 m?n= 10 ,m2?3n2 为质数.若 m2?3n2 的最大值为 a,最小 值为 b.试确定 a?b 的值.

解 设 m2?3n2=p (p 为质数) 由 m?n= 10 ,得 m= 10 + n,

① ②

把②式代入①式得( 10 + n)2?3n2= p,整理得 2n2?2 10 n+p?10=0, ∴ Δ=40?8p+80≥0,∴ p≤15.

∴ p 的最大值 a=13,最小值 b=2 , ∴ a?b=11. 6.在△ABC 的边 BC 上有一点 D,∠ADB 是锐 角,P、Q 分别是△ABD、△ACD 的外心,且四边形 3

APDQ 面积是△ABC 面积的 .求 sin∠ADB 的值. 4

解 连结 PQ,易证△AQP≌△DQP,

S?AQP 3 S?ABC =,

8

S ?AQP ? AQ ? 2

易证:△APQ∽△ABC,所以=, S?ABC ? AC ???

由已知得 所以

AQ3 =. AC 2 2

连结 QC,作 QH⊥AC 于 H,则

1? 1? 1? 1

∠ADB = ∠ACD + ∠CAD =AD + CD = ADC = ∠AQC = ∠AQH .

所以 sin∠ADB= sin∠AQH=

26

=. 33

2222

7.S(x)表示自然数 x 的数字和,试确定方程 x+S(x)+S(S(x))=2013 的解集.

解 显然 x<2013, S(x)最大为 28,而S(S(x))最大为 10,因此 x 最小为 2013?38=1975. 因此 1975≤x<2013,容易试验得

x=2003,S(2003)=5,S(S(2003))=5,2003+5+5=2013; x=1991,S(1991)=20,S(S(1991))=2,1991+20+2=2013; x=1985,S(1985)=23,S(S(1985))=5,1985+23+5=2013; x=1979,S(1979)=26,S(S(1979))=8,1979+26+8=2013.

除此之外的 x 都不满足方程,所以解集是{1979, 1985, 1991, 2003}.

8.直角△ABC 中,内切圆⊙O 切斜边 AB 于 D,切 BC 于 E,切 CA 于 F,作 DK⊥

AC 于 K,DP⊥BC 于 P,已知 AD=m,BD=n,试确定矩形 CKDP 的面积(用 m,n 来表

示).

解 设内切圆半径为 r,连接 OD,OE,OF,如 图,则 OD=OE=OF= r.

由切线长定理得

B P E C

n D

m

A

? O FK

AD=AF=m,BD=BE=n,CE=CF=r.

设△ABC 的半周长为 p,面积为 S,则 p=r+m+n, (r + m)(r + n )

. 2

即 2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn. 所以 S =

因为 S=rp,代入上式得 S= mn. 因为 DK//BC,所以 △ADK∽△ABC,

m2m2m3 n

所以 S?ADK = S ?ABC ×= mn ×=,

( m + n) 2( m + n) 2 (m + n ) 2 n2n2mn3

同理可得 S?BDP = S?ABC ×= mn ×=,

( m + n) 2( m + n) 2 (m + n ) 2

m3 nmn32m 2 n 2

因此,矩形 CKDP 的面积 = mn ?.?=(m + n) 2 ( m + n) 2 ( m + n) 2