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高一数学必修五知识点总结

时间:2016-05-07 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:数学必修五知识点总结归纳

必修五知识点总结归纳

(一)解三角形

1、正弦定理:在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,R为???C的外

abc

???2R. sin?sin?sinC

正弦定理的变形公式:①a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC;

abc

②sin??,sin??,sinC?;

2R2R2R

③a:b:c?sin?:sin?:sinC;

a?b?cabc

???④.

sin??sin??sinCsin?sin?sinC

111

2、三角形面积公式:S???C?bcsin??absinC?acsin?.

222

接圆的半径,则有

3、余弦定理:在???C中,有a?b?c?2bccos?,b?a?c?2accos?,

2

2

2

2

2

2

c2?a2?b2?2abcosC.

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

4、余弦定理的推论:cos??,cos??,cosC?.

2bc2ab2ac

5、射影定理:a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosB?bcosA

6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边,则:①若a?b?c,则C?90; ②若a?b?c,则C?90;③若a?b?c,则C?90.

2

2

2

2

2

2

?

?222?

(二)数列

1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数.

3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列.

5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.an?1?an?0 6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.an?1?an?0 7、常数列:各项相等的数列.

8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式.

10、数列的递推公式:表示任一项an与它的前一项an?1(或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.

12、由三个数a,?,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则?称为a与b的等差中项.若b?

a?c

,则称b为a与c的等差中项. 2

13、若等差数列?an?的首项是a1,公差是d,则an?a1??n?1?d. 14、通项公式的变形:①an?am??n?m?d;②a1?an??n?1?d;③d?④n?

an?a1

; n?1

an?a1a?am

?1;⑤d?n. dn?m

*

15、若?an?是等差数列,且m?n?p?q(m、n、p、q??),则am?an?ap?aq;*若?an?是等差数列,且2n?p?q(n、p、q??),则2an?ap?aq.

16、等差数列的前n项和的公式:①Sn?

n?a1?an?n?n?1?

d. ;②Sn?na1?

22

*

17、等差数列的前n项和的性质:①若项数为2nn??,则S2n?n?an?an?1?,且

??

S偶?S奇?nd,

S奇a?n. S偶an?1

*

②若项数为2n?1n??,则S2n?1??2n?1?an,且S奇?S偶?an,

??

S奇n

?

S偶n?1

(其中S奇?nan,S偶??n?1?an).

18、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.

19、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比项 .若G?ab,则称G为a与b的等比中项.注意:a与b的等比中项可能是?G 20、若等比数列?an?的首项是a1,公比是q,则an?a1qn?1. 21、通项公式的变形:①an?amqn?m;②a1?anq

??n?1?

2

;③q

n?1

?

anan?m

;④q?n. a1am

22、若?an?是等比数列,且m?n?p?q(m、n、p、q??*),则am?an?ap?aq;

2

若?an?是等比数列,且2n?p?q(n、p、q??*),则an?ap?aq.

?na1?q?1?

?

23、等比数列?an?的前n项和的公式:Sn??a1?1?qn?a?aq.

1n??q?1??

1?q?1?q

*

24、等比数列的前n项和的性质:①若项数为2nn??,则

??

S偶S奇

?q.

②Sn?m?Sn?qn?Sm.③Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列(Sn?0).

(三)不等式

1、a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.

2、不等式的性质: ①a?b?b?a;②a?b,b?c?a?c;③a?b?a?c?b?c; ④a?b,c?0?ac?bc,a?b,c?0?ac?bc;⑤a?b,c?d?a?c?b?d;

nn

⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd;⑦a?b?0?a?b?n??,n?1?;

⑧a?b?0?n??,n?1?.

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式. 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

若二次项系数为负,先变为正 5、设a、b是两个正数,则几何平均数.

a?b

称为正数a、ba、b的2

6、均值不等式定理: 若a?0,b?0,则a?b?,即

2

2

a?b

? 2

a2?b2

7、常用的基本不等式:①a?b?2ab?a,b?R?;②ab??a,b?R?;

2

a2?b2?a?b??a?b?

③ab??????a?0,b?0?;④??a,b?R?.

222????

8、极值定理:设x、y都为正数,则有

22

s2

⑴若x

高一数学必修五知识点总结

?y?s(和为定值),则当x?y时,积xy取得最大值.

4

⑵若xy?p(积为定值),则当x?y时,和x?

y取得最小值

篇二:高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》

第一章:解三角形知识要点

一、正弦定理和余弦定理

abc

???2R 1、正弦定理:在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,,则有

sin?sin?sinC

(R为???C的外接圆的半径)

2、正弦定理的变形公式:

①a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC; ②sin??

cab

,sin??,sinC?;

2R2R2R

③a:b:c?sin?:sin?:sinC; 3、三角形面积公式:S???C?

111

bcsin??absinC?acsin?. 222

2

2

2

b2?c2?a2

4、余弦定理:在???C中,有a?b?c?2bccos?,推论:cosA?

2bc

a2?c2?b2

222cosB?b?a?c?2accosB,推论:2ac

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosC,推论:cosC?

2ab

2

2

2

二、解三角形

处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解

1、三角形中的边角关系

(1)三角形内角和等于180°;

(2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;

(3)三角形中大边对大角,小边对小角;

(4)正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC,其中R是△ABC外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bccosA=b2?c2?a2. (6)三角形的面积公式有:S=

1111

ah,S=absinC=bcsinA=acsinB , S=P(P?a)?(P?b)(P?c)其2222

中,h是BC边上高,P是半周长.

2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形

(1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理.

(2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理.

(4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.

3、利用正、余弦定理判断三角形的形状

常用方法是:①化边为角;②化角为边.

4、三角形中的三角变换

(1)角的变换

因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

sin

A?BCA?BC

?cos,cos?sin; 2222

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r为三角形内切圆半径,p为周长之半

(3)在△ABC中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C成等差数列且a,b,c成等比数列.

三、解三角形的应用

1.坡角和坡度:

坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度,用i表示,根据定义可知:坡度是坡角的正切,即i?tan?.

2.俯角和仰角:

h

如图所示,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.

3. 方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为?.

注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。

4. 方向角:

相对于某一正方向的水平角.

5.视角:

由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角

??

第二章:数列知识要点

一、数列的概念

1、数列的概念:

一般地,按一定次序排列成一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,?,an,?,简记为数列?an?,其中第一项a1也成为首项;an是数列的第n项,也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N(或它的子集)的函数,当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.

?

2、数列的分类:

按数列中项的多数分为:

(1) 有穷数列:数列中的项为有限个,即项数有限; (2) 无穷数列:数列中的项为无限个,即项数无限.

3、通项公式:

如果数列?an?的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成an?f?n?,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.

4、数列的函数特征:

一般地,一个数列?an?,

如果从第二项起,每一项都大于它前面的一项,即an?1?an,那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起,每一项都小于它前面的一项,即an?1?an,那么这个数列叫做递减数列; 如果数列?an?的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.

5、递推公式:

某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.

二、等差数列

1、等差数列的概念:

如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.

即an?1?an?d(常数),这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式:

设等差数列?an?的首项为a1,公差为d,则通项公式为:

an?a1??n?1?d?am??n?m?d,?n、m?N??.

3、等差中项:

(1)若a、A、b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=

a?b

; 2

(2)若数列?an?为等差数列,则an,an?1,an?2成等差数列,即an?1是an与an?2的等差中项,且

an?1=

an?an?2a?an?2

;反之若数列?an?满足an?1=n,则数列?an?是等差数列. 22

篇三:高一数学知识点总结--必修5

高中数学必修5知识点

第一章:解三角形

1、正弦定理:在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,R为???C的外接圆的半径,则有

asin?

?

bsin?

a2R?

csinC

?2R.

2、正弦定理的变形公式:①a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC;

②sin??

,sin??

b2R

,sinC?

c2R

;(正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中)

③a:b:c?sin?:sin?:sinC; ④

a?b?csin??sin??sinC

sin?sin?sinC

111

?bcsin??absinC?acsin?. 222?

a

?

b

?

c

3、三角形面积公式:S???C

4、余 定理:在???C中,有a2?b2?c2?2bccos?,b2?a2?c2?2accos?,

c?a?b?2abcosC.

2

2

2

5、余弦定理的推论:cos??

b?c?a

2bc

222

,cos??

a?c?b

2ac

222

,cosC?

a?b?c

2ab

222

6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边,则:①若a2?b2?c2,则C?90?为直角三角形;

②若a2?b2?c2,则C?90?为锐角三角形;③若a2?b2?c2,则C?90?为钝角三角形.

第二章:数列

1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数.

3、有穷数列:项数有限的数列.

4、无穷数列:项数无限的数列.

5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.

7、常数列:各项相等的数列.

8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式.

10、数列的递推公式:表示任一项an与它的前一项an?1(或前几项)间的关系的公式.

11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个

常数称为等差数列的公差.

12、由三个数a,?,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则?称为a与b的等差中项.若

b?

a?c2

,则称b为a与c的等差中项.

13、若等差数列?an?的首项是a1,公差是d,则an?a1??n?1?d.

通项公式的变形:①an?am??n?m?d;②a1?an??n?1?d;③d?⑤d?

an?amn?m

an?a1n?1

;④n?

an?a1

d

?1;

14、若?an?是等差数列,且m?n?p?q(m、n、p、q??*),则am?an?ap?aq;若?an?是等差

数列,且2n?p?q(n、p、q??*),则2an?ap?aq;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式:①Sn?

n?a1?an?

2

;②Sn?na1?

n?n?1?2

d.

16、等差数列的前n项和的性质:①若项数为2n?n??*?,则S2n?n?an?an?1?,且S偶?S奇?nd,

S奇S偶

?anan?1

.②若项数为2n?1?n??*?,则S2n?1??2n?1?an,且S奇?S偶?an,

S奇S偶

?

nn?1

(其中

S奇?nan,S偶??n?1?an).

17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个

常数称为等比数列的公比.

18、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项.若G2?ab,则

称G为a与b的等比中项.

n?1

19、若等比数列?an?的首项是a1,公比是q,则an?a1q.

n?m

20、通项公式的变形:①an?amq;②a1?anq

??n?1?

;③q

n?1

?

ana1

;④q

n?m

?

anam

*

21、若?an?是等比数列,且m?n?p?q(m、n、p、q??),则am?an?ap?aq;若?an?是等比数

*

列,且2n?p?q(n、p、q??),则an?ap?aq;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续m

2

项和构成的数列成等比数列。

?na1?q?1?

?

22、等比数列?an?的前n项和的公式:Sn??a1?1?qn?a?aq.

1n??q?1??

1?q?1?q

q?1时,Sn?

a11?q

?

a11?q

q,即常数项与q项系数互为相反数。

nn

23、等比数列的前n项和的性质:①若项数为2n?n??

*

?,则S

S偶

?q.

n

②Sn?m?Sn?q?Sm.③Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列.

24、an与Sn的关系:an??

??Sn?Sn?1??S1

?n?2??n?1?

一些方法:

一、求通项公式的方法:

1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b,列两个方程求解;

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an2?bn?c,列三个方程求解; ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aq2、由递推公式求通项公式:

①若化简后为an?1?an?d形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为an?1?an?f(n),形式,可用叠加法求解;

③若化简后为an?1?an?q形式,可用等比数列的通项公式代入求解;

④若化简后为an?1?kan?b形式,则可化为(an?1?x)?k(an?x),从而新数列{an?x}是等比数列,用等比数列求解{an?x}的通项公式,再反过来求原来那个。(其中x是用待定系数法来求得) 3、由求和公式求通项公式:

①a1?S1 ② an?Sn?Sn?1 ③检验a1是否满足an,若满足则为an,不满足用分段函数写。 4、其他

(1)an?an?1?f?n?形式,f?n?便于求和,方法:迭加;

例如:an?an?1?n?1 有:an?an?1?n?1 a2?a1?3a3?a2?4?

an?an?1?n?1

各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1?

n

?b,q为相除后的常数,列两个方程求解;

?n?4??n?1?

(2)an?an?1

2

?anan?1形式,同除以anan?1,构造倒数为等差数列;

an?an?1anan?1

?2?

1an?1

?

例如:an?an?1?2anan?1,则

?1?

,即??为以-2为公差的等差数列。 an

?an?

1

(3)an?qan?1?m形式,q?1,方法:构造:an?x?q?an?1?x?为等比数列;

例如:an?2an?1?2,通过待定系数法求得:an?2?2?an?1?2?,即?an?2?等比,公比为2。 (4)an?qan?1?pn?r形式:构造:an?xn?y?q?an?1?x?n?1??y?为等比数列;

nn

(5)an?qan?1?p形式,同除p,转化为上面的几种情况进行构造;

因为an?qan?1?pn,则

anp

n

?

qan?1pp

n?1

?1,若

qp

?1转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)的方

二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)

①若?②若?

?ak?0

,则Sn有最大值,当n=k时取到的最大值k满足? d?0a?0??k?1

?a1?0?a1?0

?ak?0

,则Sn有最小值,当n=k时取到的最大值k满足? d?0a?0??k?1

三、数列求和的方法:

①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;

②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:an??2n?1??3;

n

③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:an?

1n?n?1?

?1n?

1n?1

,an?

1

?2n?1??2n?1?

?

1?11?

???等;

2?2n?12n?1?

④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:

an?2?n?1等;

n

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a?d和a?d类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和

aq

类型,这样可以相乘约掉。

第三章:不等式

1、a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.

比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。

2、不等式的性质: ①a?b?b?a;②a?b,b?c?a?c;③a?b?a?c?b?c;

④a?b,c?0?ac?bc,a?b,c?0?ac?bc;⑤a?b,c?d?a?c?b?d; ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd;⑦a?b?0?a?b⑧a?b?0?

nn

?n??,n?1?;

?

n??,n?1?.

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

判别式??b?4ac

2

??0 ??0 ??0

二次函数y?ax?bx?c

2

?a?0?的图象

有两个相异实数根

一元二次方程ax?bx?c?0

2

有两个相等实数根

?a?0?的根

ax?bx?c?0

一元二次不等式的解集

2

x1,2?

?b?2a

x1?x2??

b2a

没有实数根

?x1?x2?

?a?0?

ax?bx?c?0

2

?xx?x1或x?x2?

?b?xx????

2a??

?

R

?a?0?

?xx1?x?x2?

?

5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式. 6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.

7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?,所有这样的有序数对?x,y?构成的集合.

8、在平面直角坐标系中,已知直线?x??y?C?0,坐标平面内的点??x0,y0?.

①若??0,?x0??y0?C?0,则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方. ②若??0,?x0??y0?C?0,则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方.

9、在平面直角坐标系中,已知直线?x??y?C?0.

①若??0,则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域;?x??y?C?0表示直线

?x??y?C?0下方的区域.

②若??0,则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域;?x??y?C?0表示直线

?x??y?C?0上方的区域.

10、线性约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是x,y的线性约束条件.

目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式. 线性目标函数:目标函数为x,y的一次解析式.

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解?x,y?.