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高一数学必修1笔记

时间:2016-11-09 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:高中数学课堂笔记--必修1

第一章 集合与函数概念

第一节 集合

一、集合有关概念 1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性如:世界上最高的山

(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,

印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

? 注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:N

正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R

1) 列举法:{a,b,c……}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号

内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图:

4、集合的分类:

有限集含有有限个元素的集合 (1) 无限集含有无限个元素的集合

(2) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系

1.?包含?关系—子集

注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同

一集合。

?B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

?A 或B?

2.?相等?关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)

实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记

作AB(或BA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

第二节 函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? ①表达式相同(与表示自变量和函数值

的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间

(3)区间的数轴表示. 5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)?

对于映射f:A→B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

第三节 函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当时,都(来自:WwW.hn1C.Com 唯 才 教育 网:高一数学必修1笔记)有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)D称为y=f(x)的单调减区间.

注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:

1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ○

2 作差f(x1)-f(x2); ○

3 变形(通常是因式分解和配方); ○

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:?同增异减?

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○

篇二:人教版数学必修一笔记

第一章 集合与函数的概念

1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

1.集合的性质:确定性、互异性(无重复)、无序性(杂乱无章的)

2.集合分类:⑴按集合中元素的多少分:有限集、无限集、空集? ⑵按集合中元素的性质分:数集、点集、多项式集、几何图形集

3.集合的表示方法:⑴列举法 如:A={a,b,c} ⑵描述法:①文字描述法 如:B={三角

2形} ②式子描述法 如:C={x|x+2x-3>0}

*4.常用数集表示方法:非负整数集 N 正整数集 N或N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集R

1.1.2 集合间的基本关系

一、子集的概念

见课本P6

二、子集的性质

1.规定:空集是任何集合的子集;

2.任何一个集合是它本身的子集,即A?A

3.对于集合A、B、C,如果A?B,且B?C,那么A?C(传递性)

1.1.3 集合的基本运算

一、并集

定义:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记

作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x?A,或x?B}

性质:

⑴?∪A=A;A∪A=A

⑵A∪B=B∪A

⑶(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

⑷A∪B?A且A∪B?B

并集的概念还可以推广到n个集合并的情形.

A1∪A2∪?∪An={x|x?A1或x?A2或??或x?An}

二、交集

定义:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成

的集合,称为A与B交集,记作A∩B(读作“A交

B”),即A∩B={x|x?A,且x?B}

⑴?∩A=?;A∩A=A

⑵A∩B=B∩A

⑶(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑷A∩B?A且A∩B?B

交集的概念也可以推广到n个集合交的情形.

A1∩A2∩?∩An={x|x?A1且x?A2且??且x?An}

注意:1.要区别“或”与“且”的不同,集合的并与交从定义上看就是一字之差;

2.集合取并,越并越“大”,集合取交,越交越“小”。

三、补集

定义:

1.全集:如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为 全集,通常记作U。

2.补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A

的所有元素组成的集合称为集合

A

相当于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作CUA,即CUA={x|xU,且xA} 性质:

⑴CU?=U;CUU=?

⑵CUA∩A=?;CUA∪A=U

⑶CU(CUA)=A

例题:

22 1.设二次方程:x-px+15=0,x-5x+q=0的解集分别为A、B,且A∪B={2、3、5},

A∩B={3},试求A、B及p、q的值。

解:因为A∩B={3}

所以3是两个方程的公共根,分别代入其方程得: 2-3p+15=0

23-15+q=0

解得p=8,q=6

22所以原方程分别为x-8x+15=0,x-5x+6=0

设它们的另一根分别为α和β。由一元二次方程的根系关系得:

3α=15 3β=6

α=5 β=2

所以A={3,5} B={2,3}

2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩B={2},(CUA)∩(CUB)={1,9} (CUA)∩B={4,6,8},试确定A,B。

解:因为A∩B={2}

所以2为A,B的公共元素。

又因为(CUA)∩B={4,6,8},可知B={2,4,6,8}

又由(CUA)∩(CUB)={1,9}

所以1,9两元素在A、B两集合外

从而可知A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}

322323.若A={2,4,a-2a-a+7},B={-4,a+3,a-2a+2,a+a+3a+7},且A∩B={2,5},

试求实数a的值。

分析:A中已有元素2,另一代数式的值必为5,故可求a的值分别代入B中的代数 式进一步确定a值。

32解:由已知a-2a-a+7=5

即(a+1)(a-1)(a-2)=0

所以a=±1或a=2

232 将a=±1,2分别代入B中的元素a+3,a-2a+2,a+a+3a+7

若a=-1得2,5,4这与条件A∩B={2,5}矛盾

若a=1得不到2,5这也与条件A∩B={2,5}矛盾,仅有a=2符合条件。 所以a=2为所求

1.2 函数及其表示

1.2.1 函数的概念

一、预备知识

1.关于区间

见课本P17

2.映射的概念

设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意

一个元素x,在集合B都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应:A→B为从集 合A到集合B的一个映射。

二、函数概念

1.定义

见课本P16

2.函数三要素:定义域(函数自变量x的取值范围)、值域(函数值的取值范围)、对应 法则(自变量x 与函数值f(x)之间的对应法则)

1.2.2 函数的表示法

一、函数的三种表示方法:解析法、图像法和列表法

二、复合函数

若y=f(u),u=g(x),则称函数y=f[g(x)]是函数y=f(u)与函数u=g(x)的复合 函数。

例题:

1.已知f(x)=2x-1,g(x)=

解:f(x)=2x-1 2212,求f(x)、f[g(x)]、g[f(x)+2] 2x?1

1?x21f[g(x)]=2g(x)-1=2(2)-1=2 x?1x?1

g[f(x)+2]=g[(2x-1)+2]=g(2x+1)=11= 22(2x?1)?14x?4x?2

2.下列各组中函数是否是同一函数,为什么?分别画出它们的图像。

⑴y=x-3与y=x-6x?9

⑵S=?r(r≥0)与y=?x(x≥0)与y=?x(x∈R) 2222

x2

⑶y=与y=x x

解:⑴函数y=x-3与y=x-6x?9=|x-3|定义域相同,值域不同,故不是同一函数。 其图像如下图所示: 2

22 ⑵S=?r(r≥0)与y=?x(x≥0)的定义域与对应法则相同,因而值域也相同

2只是变量的字母不同,因此它们是同一函数。而函数y=?x(x∈R)的对应法

则虽然与它们相同,但其定义域不同,故不是同一函数。它们的图像如下图:

x2

⑶y=与函数y=x的定义域不同,因而不是同一函数,其图像分别为: x

3、⑴y= 12⑵y=x?2x-32x-x

解:⑴要使函数有意义,须且只须x≠0,1

所以D=(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)

2⑵要使函数有意义,只须x+2x-3≥0,即x≤-3或x≥1

所以D=(-∞,-3]∪[1,+∞)

24、已知f(x+1)=x+3x+1,求f(x)的解析式。

解法1(变量代替法)

另x+1=u,则x=u-1

22代入已知f(u)=(u-1)+3(u-1)+1=u+u-1

2所以f(x)=x+x-1

解法2(定义法)

22因为f(x+1)=(x+1)+x=(x+1)+(x+1)-1

2所以f(x)=x+x-1

解法3(待定系数法)

2设f(x)=ax+bx+c

22则f(x+1)=a(x+1)+b(x+1)+c=ax+(2a+b)x+c

2但f(x+1)=x+3x+1

所以2所以f(x)=x+x-1

5、求下列各函数的值域

⑴y=5x?3⑵y=2x-3+4x-132x-3

521212x-3)?5x?3=5+ 解:⑴y==2x-322x-32x-3

而y1=≠0 2x-3

55所以y=+y1≠22

55所以y∈(-∞,)∪(,+∞) 22

13⑵由4x-13≥0,则已知函数的定义域为{x|x≥} 4

t2?13 设t=4x-13,则x=4

t2?1312 于是y=2()-3+t=(t+1)+3 42

112(t+1)≥22

1172 所以y=(t+1)+3≥+3=222

7 所以函数值域为[,+∞) 2 由t≥0,则

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性和最大(小)值

一、单调性定义:课本P28

注意1:函数的单调性是针对某个区间而言的,离开了具体的区间就无所谓函数的单调

性。

注意2:由定义可以证明y=f(u),u=g(x),当它们的增减性相同时复合函数y=f[g(x)] 在其定义域上为增函数;当它们的增减性相反时复合函数y=f[g(x)]在其定

义域上为减函数。

二、最大值定义:课本P30

最小值定义:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:

⑴对任意的x∈I都有f(x)≥m;

⑵存在x0∈I使得f(x0)=m

那么,我们称m是函数y=f(x)的最小值。

三、函数的极值与最值的区别:

1.在给定区间上函数的最值是唯一的,而函数的极值不是唯一的;

2.在给定区间上函数的最大值一般大于函数的最小值,而函数的极大值不一定大于函数 的极小值;

3.函数的最值揭示的是函数在整个给定区间的性态,而函数的极值揭示的是函数在给定 区间上某个点附近的性态。

例题:

1、根据函数的单调性的定义证明:函数f(x)=ax+bx+c(a>0)在[-

是增函数。

2b,+∞)上 2a

篇三:高中数学课堂笔记必修1

第一章 集合与函数概念

第一节 集合

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性:

(1) 元素的确定性如:世界上最高的山

(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集) 记作:N

正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R

1) 列举法:{a,b,c……}

2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集

合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图:

4、集合的分类:

有限集含有有限个元素的集合 (1) 无限集含有无限个元素的集合

2

(2) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x=-5} 二、集合间的基本关系

1.?包含?关系—子集

注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?2.?相等?关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)

2

实例:设 A={x|x-1=0} B={-1,1}?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作ABA)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

? 有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集

B(或

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? 无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)

的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法

常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间

(3)区间的数轴表示. 5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)?B(象)? 对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

第三节 函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间称为y=f(x)的单调减区间.

注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:

1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ○

2 作差f(x1)-f(x2); ○

3 变形(通常是因式分解和配方); ○

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ○

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:?同增异减?

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○

2确定f(-x)与f(x)的关系; ○

3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)○

是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○

2 利用图象求函数的最大(小)值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则 函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则 函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第二章 基本初等函数 一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,

*

且n∈N.

? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作?0。

n

当n是奇数时,an?a,当n是偶数时,an?|a|??2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

?a(a?0)

?a(a?0)?

a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a

?m

n

mn

?

1a

r

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)a〃a?a

(a?0,r,s?R);

rsrs

(a)?a(2)

r

r?s

(a?0,r,s?R);

(ab)?aa (3)

(a?0,r,s?R).

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数y?a(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在[a,b]上,f(x)?a(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或

x

x

[f(b),f(a)];

(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;

(3)对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1),总有f(1)?a;

x