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2016年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题答案

时间:2016-06-08 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(答案)

篇二:2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(word版)

2015年全国高中数学联赛山东赛区预赛

(一)填空题(本大题共10小题,每小题8分,共80分,请将答案填写在答题纸指定位置)

(1)复数z满足z?5,且(3?4i)z是纯虚数,则z? (2)方程sinx?cosx?1的解为44

(x?1)2?sinx (3)设函数f(x)?的最大值为M,最小值为N,则M?N? 2x?1

(4)如图,O是半径为1的球的球心,点A,B,C在球面上,

OA,OB,OC两两垂直,E,F分别是圆弧AB,AC的中

点,则点E,F在该球面上的球面距离是 (5)已知x,y?[0,??)且满足x?y?3xy?1,则xy的最大值为 (6)将正整数列{1,2,3,…}中的所有完全平方数去掉后,按原顺序构成数列{an},则 a2015? (7)把1,2,3,4,5,6六个数随机排成一列组成一个数列,要求该数列恰好先增后减,这样 的数列共有

(8)设a?1,若关于x的方程a?x无实根,则实数a的取值范围为 (9)在?ABC中,角A,B,C满足A?B?

C,且

?B? (10)已知集合M?{1,2,…,99},现随机选取M中9个元素做成子集,记该子集中的最 小数为?,则E(?)?

(二)解答题 (本大题共4小题,共70分,答题需给出详细的解答过程,没有过程不得分)

x332sinA?sinB?sinC? cosA?cosB?cosC

(11) (本小题满分15分)求证:不存在这样的函数f:Z??{1,2,3},满足对任意的 整数x,y,若x?y?{2,3,5},则f(x)?f(y).

(12) (本小题满分15分)对任意的x和自然数n,比较nsinx和sinxsinnx的大小. 2

x2y2

(13) (本小题满分20分)已知椭圆C1:2?2?1,不过原点的直线l和椭圆相交于 ab

两点A,B.

(I)求三角形OAB面积的最大值;

(II)是否存在椭圆C2,使得对于C2的每一条切线和椭圆C1均相交,设交于A,B 两点,且S?OAB恰取最大值?若存在,给出该椭圆;若不存在,说明理由.

(14) (本小题满分20分)已知数列{an}满足a1?1,an?1?an?

3(I)求证:当n?2时,an?3n; 1(n?1). 2an

(II)当n?4时,求[a9n2],其中[x]表示不超过x的最大整数.

篇三:2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题及答案

2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题

2013年9月7日 9:30——11:30

一、填空题(本大题共10个小题,每小题8分)

(1)函数y?4cosx?cos2x(x?R)的值域是 . (2)已知复数z满足z?1,则z2?z?1的最大值为. (3)如图,在?ABC中,点O为BC的中点,过点O的直线分别交

N

A

?????????????????B

直线AB、AC于不同的两点M、N,若AB?mAM,AC?nAN,

则m?n的值为 .

M

(4)如果关于x的不等式x?a?x?x?1的解集是R,则a的取值范围是 . (5)已知正数a,b,c满足4a?b?abc,则a?b?c的最小值为 .

(6)对任意实数x,恒有loga(sinx?cosx)2??2成立,则a的取值范围是 (7)已知A?B?C?{a,b,c,d,e},A?B?{a,b,c},c?A?B?C,则符合上述条件的{A,B,C}共有组.

(8)已知函数f(x)定义在R上,对任意的x?

R,f(x?1006)?

1

2

,且

3

,则f(2013). 4

(9)用五种不同颜色给三棱台ABC?DEF六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个f(?1005?)

端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有种. (10)假设实数b,c满足b2?c2?1,且f(x)?ax?bsinxc?cosx则a的取值范围是 .

二、解答题(本大题共4题,共70分)

(11)(本小题共15分)如图所示,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,已知AD?1,AB?2,AA1?c,若对角线BD1上存在一点P使得PB1?PC1,求c的取值范围.

A1

D1

的图象上存在两条切线互相垂直,

C1

PD

B1

C

A

x2y2

(12)(本小题共15分)已知椭圆??1的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点F1,F2,

43

求该平行四边形面积的最大值.

(13)(本小题共20分)已知数列{an}满足:Sn?1?an(n?N*),其中Sn为{an}的前n项和. (Ⅰ)试求{an}的通项公式; (Ⅱ)设cn?

111

,数列{cn}的前n项和为Pn,求证:Pn?2n?. ?

1?an1?an?15

(14)(本小题共20分)假设n,a,b均为正整数,且n?a?b,p是一素数,n,a,b的p进制表示分别

为n?

?np

ii?0

s

i

,a?

s

?ap,b??bp

ii

i

i?0

i?0

i

i

ss

i

,其中0?ni,ai,bi?p?1,i?0,1,2,?,s,证明:

(Ⅰ)若n?

?dp,d

ii?0

?0,i?0,1,2,?s,,且对整数j(0?j?s),?dipi??(p?1)pi,则

i?j

i?j

sn

[j]??dipi?1,这里[x]表示不超过x的最大整数. pi?j

(Ⅱ)p?数.

n!n!

?,p??1???iai?bi?ni,i?0,1,2,?,s},这里A表示集合A中元素的个

a!b!a!b!

篇四:2014年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题(扫描版)

2014年9月6日(星期六)9:30——11:

30

篇五:2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案

二O一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案

一、填空题(共10小题,每小题7分,满分70分) 1.已知?ABC的外接圆半径为R,且2R(sin的对边). 那么?C的大小为___________. 答案:45°

2.集合A?{x2a?1?x?3a?5},B?{x3?x?33},A?(A答案:a????,?4??1,28?.

??3??

3.6

11

1102910

?C116?C116?...?C116?1被8除所得的余数是_____________.

2

A?sin

2

b分别是?A、?BC)?(a?b)sinB(其中a、

B), 则a的取值范围是___________

答案:5

4.在数列?an?中,a1?2,a2?10,对所有的正整数n都有an?2?an?1?an,则a2015?答案:-10

5.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,

PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=23,BC=6.则二面角P—BD—A的大小为__________. 答案:60°.

x2y2

6.设双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2,A是双曲线

ab

渐近线上的一点,AF2?F1F2,原点O到直线AF

1的距离为

1

OF1,则双曲线的离心率为3

答案:

2

1t

7.已知a,b两个互相垂直的单位向量,且ca

?cb?1,则对任意的正实数t,|c?ta?b|的最小值是____________. 8.若关于x的方程1??

答案:?kk??

4??

?kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为____________.

x?4

x

x2y2

?9.设x,y是正实数,且x?y?1,则的最小值是 . x?2y?1

答案:

1 4

10.设f(x)是定义在整数集上的函数,满足条件:⑴f(1)?1,f(2)?0;⑵对任意的x,y都有f(x?y)?f(

x)f(1?y?)f(1?x)f,则(yf(2015)=___________. 答案:-1

π

11.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2sin2(-x)3cos 2x.

4

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;

π

(Ⅱ)若f(x)<m+2在x∈[0,上恒成立,求实数m的取值范围.

解析:(Ⅰ)∵f(x)=1-cos(2x)x

2

=-(sin 2x+x)+1

π

=-2sin(2x+)+1,

32π

∴f(x)的最小正周期T==π,

2

πππ5ππ

由2kπ-≤2x+≤2kπ+k∈Z可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

2321212

∴f(x)的单调递减区间为[kππ,kπ+k∈Z).…………………7分

1212

πππ23π

(Ⅱ)∵x∈[0,,∴x+≤π,∴≤sin(2x+,

633323π∴当sin(2x+)时,f(x)取得最大值为1-3,即f(x)max=13.

32

要使f(x)<m+2恒成立,需f(x)max<m+2, ∴1-3<m+2,解得m>-1-3,

∴m的取值范围是(-1-3,+∞).…………………14分

12.(本小题满分14分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.

(2)花店记录了100

二、解答题(共5小题,满分80分)

以100①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差. ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解 (1)当日需求量n≥16时,利润y=80. 当日需求量n<16时,利润y=10n-80. 所以y关于n的函数解析式为 ??10n-80,n<16,y=?

(n∈N).…………………6分 ?80,n≥16?

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列为

X的数学期望为E(X)=60×0.1+70×22

X的方差为D

(X)=(60-76)×0.1+(70-76)×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②方法一 花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17

Y的数学期望为E(Y)=55×0.122

Y的方差为D(Y)=(55-76.4)×0.1+(65-76.4)×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然E(X)<E(Y),但两者相差不大.

故花店一天应购进16枝玫瑰花.…………………14分 方法二 花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17

Y的数学期望为E(Y)=55×0.1由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.

故花店一天应购进17枝玫瑰花.

2n?1an

(n?N?). 13. (本小题满分16分)数列?an?满足a1?2,an?1?

1

(n?)an?2n

2

2n

(Ⅰ)设bn?,求数列?bn?的通项公式;

an

(Ⅱ)设cn?

1

,数列?cn?的前n项和为Sn,求Sn.

n(n?1)an?1

12n?12n1an?1an

解:(Ⅰ)由已知可得n?1?,即??n?,即bn?1?bn?n?

2an?1an22(n?)an?2n2

而b2?b1?1?

11,b2?b1?2?,221

,b2?b1?(n?1)?,

2

累加得bn?b1?1?2?3?

n?1n2?1

?(n?1)??,

22

2n2?1n2?1

又b1?…………………8分 ?1,?bn??1?

a122

2n?22n?12n?1

(Ⅱ)由(1)知an?,an?1?, ?2

2

(n?1)?1bnn?1

?(n?1)2?11n2?2n?21?n2?nn?2?1?111

cn??????????n?2n?1n?1n?1?n?1nn?1?n(n?1)22n(n?1)22?n(n?1)2n(n?1)2?2?2n?2(n?1)2?111

Sn?(2?3?

222

?

11?1111)?(?)?(?)??n?122322?1?22?22?23?2

?[

?11

?]nn?1?n?2(n?1)?2?

11

(1?)n?1?121?111n?1n?2? ??…………………16分 ??????1?()?n?1???222(n?1)?222n?1????1?2

a(x?1)

14. (本小题满分18分)已知函数f(x)?lnx?.

x?1

(Ⅰ)若函数f(x)在(0,??)上为单调增函数,求a的取值范围;

(Ⅱ)设m?n?0,求证:lnm?lnn?

2(m?n)

.

m?n

1a(x?1)?a(x?1)(x?1)2?2axx2?(2?2a)x?1

解析:(I)f?(x)????. ………………5分 222

x(x?1)x(x?1)x(x?1)

因为f(x)在(0,??)上为单调增函数,所以f?(x)?0在(0,??)上恒成立

.

即x2?(2?2a)x?1?0在(0,??)上恒成立.

1

当x?(0,??)时,由x2?(2?2a)x?1?0,得2a?2?x?.

x11设g(x)?x?,x?(0,??).g(x)?x???2.

xx1

所以当且仅当x?,即x?1时,g(x)有最小值2.

x

所以2a?2?2?a?2.

故a的取值范围是(??,2].

…………10分

m?1)2(m?n)m(II)要证lnm?lnn?,只需证ln?.

m?nmn

?1n

2(

m?1)

mn只需证ln??0.

mn

?1n

2(

…………14分

设h(x)?lnx?

2(x?1)

. x?1

由(I)知h(x)在(0,??)上是单调增函数,又

m

?1, n

m?1)

mm所以h()?h(1)?0,即ln??0成立.

mnn?1n

2(

所以

m?nm?n

?.

lnm?lnn2

…………18分

2y215.(本小题满分18分)已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点设F1,F2与椭圆短轴的一个端点

构成边长为4的正三角形. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;

(Ⅲ)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:

|NF1|

为定值.

|MF1|

2y2解析:(Ⅰ)依题意,2c=a=4,∴ c=2,b

=椭圆C的标准方程为??1; ……………4分 (Ⅱ)设P(x0,y0),由(Ⅰ),F1(?02),,设P(x0,y0),M(x,y)

过椭圆C上过P的切线方程为: x0x?y0y

?1,①

直线Fy0x0?1P的斜率kF1P?

x,则直线MF0?21

的斜率kMF1??2

y, 0

于是,则直线MFx0?2

1的方程为:

y??y(x?2), 0

即 yy0??(x0?2)(x?2), ②

① ②联立,解得 x = -

2016年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题答案

8,

∴ 点M的轨迹方程为 x = -8. …………………10分

(Ⅲ)依题意及(Ⅱ),点M、N的坐标可表示为M(?8,yM)、N(?2,yN),点N在切线MP上,由①式得y3(x0?8)

N?

, 0点M在直线MF6(x1上,由②

式得 y0?2)

M?y, 0

|NF9(x0?8)22

1|2

?y2

N

?

2

, |MF1|2?[(?2)?(?8)]2?y236[y0?(x0?2)2]M?, 020|NF1|29(x0?8)2∴ y20?(x0?8)22?, 122?02

③ 000202

22

注意到点P在椭圆C上,即 x0?y0

?1,

48?x22于是y0|NF1|0?代人③式并整理得 ?, ∴ |NF1|

的值为定值. ……………18分 12

1