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初三数学抛物线动点问题

时间:2016-06-01 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:抛物线动点问题(学生)

1.1因动点产生的相似三角形问题

1如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3). (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标; (2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;

(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

图1图2

C2直线y??x?1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转

90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点. (1) 写出点A、B、C、D的坐标;

(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;

(3) 在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

13

1.2因动点产生的等腰三角形问题

C3如图(1),已知直线的解析式为

,直线与x轴、y轴分别相交

于A、B两点,直线经过B、C两点,点

C的坐标为(8,0),又已知点P在x轴上从点A向点C移动,点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t秒(

)。

(1)求直线的解析式。

(2)设△PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式。 (3)试探究:当t为何值时,△PCQ为等腰三角形?

1.3因动点产生的直角三角形问题

C5如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存

在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

1.4 因动点产生的平行四边形问题

C6在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.

(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

图1

C7平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(?4,0),B(0,?4),

C(2,0)三点.

(2)若点M为第三象限((来自于:www.hN1C.coM 唯才 教育 网:初三数学抛物线动点问题)内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.

(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y??x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的 四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

1.5 因动点产生的梯形问题

C8 已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为

点P,与x轴的另一交点为点B.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;

(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度

的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.

篇二:中考数学动点问题经典习题

初中中考动点问题精品习题

(2011?湘西州)如图.抛物线y= - x- 2x+3与x轴相交于点A和点B,与y轴交于点C.

(1)求点A、点B和点C的坐标.

(2)求直线AC的解析式.

(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点,且S△MAB=6,求点M的坐标.

(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从 B 向A运动(不与B,A重合),同时,点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动.设运动的时间为t秒,请求出△APQ的面积S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,△APQ的面积最大,最大面积是多少?

2

(2011?株洲)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=a x(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:

(1)若测得 OA=OB=2,求a的值; 2(如图1)2

(2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标 -4

(3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

(2011?铜仁地区)如图,在平面直角坐标系xOy中,一抛物线的顶点坐标是(0,1),且过点(-2,2),平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上,AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是(-4,0),点Q(x,y)是抛物线上任意一点.

(1)求此抛物线的解析式及点M的坐标;

(2)在x轴上有一点P(t,0),若PQ∥CM,试用x的代数式表示t;

(3)在抛物线上是否存在点Q,使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍?若存在,求此时点Q的坐标.

(2011?湘潭)如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

篇三:中考数学动点问题题型方法归纳

动点问题题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。)

动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

1、(2009年齐齐哈尔市)直线y??

3

x?6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,4

同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA 运动,速度为每秒1个单 位长度,点P沿路线O→B→A运动. (1)直接写出A、B两点的坐标;

(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间 的函数关系式; (3)当S?

48

时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5

坐标.

解:1、A(8,0) B(0,6)

2、当0<t<3时,S=t2

当3<t<8时,S=3/8(8-t)t

提示:第(2)问按点P到拐点B所有时间分段分类;

第(3)问是分类讨论:已知三定点O、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边,②OP为边、OQ为对角线,③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。 2、(2009年衡阳市)

如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm, ∠ABC=60o.

(1)求⊙O的直径;

(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;

(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动,同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t(s)(0?t?2),连结EF,当t为何值时,△BEF为直角三角形.

图(1)

注意:第(3)问按直角位置分类讨论 图(2)

B

B

图(3)

3、(2009重庆綦江)如图,

已知抛物线y?a(x?1)2?a?0)经过点A(?2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?

(3)若OC?OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC和BO之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.

注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ面积最大时,四边形BCPQ的面积最小。

二、 特殊四边形边上动点

4、(2009年吉林省)如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,?B?60°.从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A?C?B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿

A?B?C?D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间

为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定:点和线段是面积为O的三角形),....

解答下列问题:

(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒;

(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形时x

(3)求y与x之间的函数关系式.

提示:第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ; 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(?3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式;

(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S?0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);

MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直

图(

2)

图(1)

注意:第(2)问按点P到拐点B所用时间分段分类;

第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO与∠ABM互余,画出点P运动过程中,∠MPB=∠ABM的两种情况,求出t值。 利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(3,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA、DF.设运动时间为t秒. (1)求∠ABC的度数;

(2)当t为何值时,AB∥DF; (3)设四边形AEFD的面积为S. ①求S关于t的函数关系式;

②若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<23时,求m的取值范围(写出答案即可). 注意:发现特殊性,DE∥OA 7、(07黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且

∠AOC=60°,点B的坐标是,点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动,设t(0?t?8)秒后,直线PQ交OB于点D. (1)求∠AOB的度数及线段OA的长;

(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (3)当a?3,OD?

t的值及此时直线PQ的解析式; (4)当a为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与?OAB

相似?当a 为何值时,以O,P,Q,D为顶点的三角形与?OAB不相似?请给出你的结论,并加以证明.

OC∥AB,8、(08黄冈)已知:如图,在直角梯形COAB中,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C

0)B(810),,C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个三点的坐标分别为A(8,,

单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.

(1)求直线BC的解析式;

2? 7

(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的

(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;

(4)当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?请求出此时动点P的坐标;若不能,请说明理由.

9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线

y?

124

x?x?10与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 189

过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0<t<

9

时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由;2

(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程. 提示:第(3)问用相似比的代换,

得PF=OA(定值)。

第(4)问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

三、 直线上动点

8、(2009年湖南长沙)如图,二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴

0)、C(0,且当x??4和x?2时二次相交于点C.连结AC、

BC,A、C两点的坐标分别为A(?3,

函数的函数值y相等.

(1)求实数a,b,c的值;

(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到

MN沿MN翻折,B 点达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△B

恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为项点的三角形与

△ABC相似?如果存在,请求出点Q

提示:第(2)问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM为菱形;

第(3)问注意到△ABC为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC相似的△BNQ ,再

判断是否在对称轴上。 9、(2009眉山)如图,已知直线y?点D,抛物线y?

1

x?1与y轴交于点A,与x轴交于2

12

x?bx?c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C2

两点,且B点坐标为 (1,0)。 ⑴求该抛物线的解析式;

⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM?MC|的值最大,求出点M的坐标。

提示:第(2)问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时,以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P,②A为直角顶点时,过点A作AE垂线交x轴于点P,③E为直角顶点时,作法同②;

第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。 10、(2009年兰州)如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4), 点C在第一象限.动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.

(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;

(2)求正方形边长及顶点C的坐标;

(3)在(1)中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标;

(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运

动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.

注意:第(4)问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论;求t值时,灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、(2009年北京市)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为

1

A??6,0?,B

?6,0?,C0,,延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于

2

?点E.

(1)求D点的坐标;

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y?kx?b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;

(3)设G为y轴上一点,点P从直线y?kx?b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)

提示:第(2)问,平分周长时,直线过菱形的中心;