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初三数学相似三角形

时间:2016-06-13 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:初三数学相似三角形典例及练习(含答案)

初三数学相似三角形

(一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是:

1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题

本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。

(二)重要知识点介绍:

1. 比例线段的有关概念: 在比例式ac?(a:b?c:d)中,a、d叫外项,b、c叫内项,a、c叫前项, bd

b、d叫后项,d叫第四比例项,如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。

2 把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC=AB·BC,叫做把线段AB黄金分割,C叫做线

段AB的黄金分割点。

2. 比例性质: ①基本性质:ac??ad?bc bd

②合比性质:aca±bc±d??? bdbd

acma?c?…?ma??…?(b?d?…?n≠0)?? bdnb?d?…?nb ③等比性质:

3. 平行线分线段成比例定理:

①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1∥l2∥l3。

则ABDEABDEBCEF?,?,?,… BCEFACDFACDF

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定:

①两角对应相等,两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

③三边对应成比例,两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

【典型例题】

例1. (1)在比例尺是1:8000000的《中国行政区》地图上,量得A、B两城市的距离是7.5厘米,那么A、B两城市的实际距离是__________千米。

(2)小芳的身高是1.6m,在某一时刻,她的影子长2m,此刻测得某建筑物的影长是18米,则此建筑物的高是_________米。

解:这是两道与比例有关的题目,都比较简单。

(1)应填600 (2)应填14.4。

例2. 如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是:

____________

ADAE?ABAC

DEAD C.?BCBD A.B.CEEA ?CFFBEFCF D.?ABCB

DEAD?, BCBD 分析:由DE∥BC,EF∥AB可知,A、B、D都正确。而不能得到

故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时,一定要分清谁是截线、谁是被截

线,C中DE很显然是两平行线段的比,因此应是利用三角相似后对应边成比 BCDEADAE 例这一性质来写结论,即??BCABAC

例3. 如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,

BP?1,CD?2,求△ABC的边长

3

解:∵△ABC是等边三角形

∴∠C=∠B=60°

又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°

∠APB=∠1+∠C=∠1+60°

∴∠PDC=∠APB

∴△PDC∽△APB ∴PCCD ?ABPB

设PC=x,则AB=BC=1+x 2

x ∴?,∴x?2, 1?x1

∴AB=1+x=3。

∴△ABC的边长为3。

例4. 如图:四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形,

(1)求证:△AEF∽△CEA

(2)求证:∠AFB+∠ACB=45°

分析:因为△AEF、△CEA有公共角∠AEF

故要证明△AEF∽△CEA

只需证明两个三角形中,夹∠AEF、∠CEA的两边对应成比例即可。

证明:(1)∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形

∴AB=BE=EF=FC=a,∠ABE=90° ∴AE?2a,EC?2a

∴AE2aEC2a??2,?? EFaAE2a

∴AEEC ?EFAE

又∵∠CEA=∠AEF

∴△CEA∽△AEF

(2)∵△AEF∽△CEA

∴∠AFE=∠EAC

∵四边形ABEG是正方形

∴AD∥BC,AG=GE,AG⊥GE

∴∠ACB=∠CAD,∠EAG=45°

∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG

∴∠AFB+∠ACB=45°

例5. 已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于点O,EF经过点O且和两底平行,交AB于E,交CD于

F

求证:OE=OF

证明:∵AD∥EF∥BC OEAEOEEB ?,?BCABADAB

OEOEAEEBAB ∴?????1 BCADABABAB

111 ∴ ??BCADOE

111 同理: ??BCADOF

11 ∴∴OE=OF ?OEOF ∴

从本例的证明过程中,我们还可以得到以下重要的结论: 111 ??ADBCOE

1 ②AD∥EF∥BC?OE?OF?EF 2

11111212 ③AD∥EF∥BC? ???即???ADBCOEADBCEFOFEF2 ①AD∥EF∥BC?

这是梯形中的一个性质,由此可知,在AD、BC、EF中,已知任何两条线段的长度,都可以求出第三条线段的长度。

例6. 已知:如图,△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于

F

求证:AEAC ?AFAB

分析:观察AE、AF、AC、AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多,因而相似三角形多的特点,可设法寻求中间量进行代

换,通过△ABD∽△ADE,可得:ABAD?,于是得到AD2?AE·AB,同理 ADAE

AEAC 可得到AD2?AF·AC,故可得:AE·AB?AF·AC,即?AFAB

证明:在△ABD和△ADE中,

∵∠ADB=∠AED=90°

∠BAD=∠DAE

∴△ABD∽△ADE ∴ABAD ?ADAE

2 ∴AD=AE·AB

同理:△ACD∽△ADF

2 可得:AD=AF·AC

∴AE·AB=AF·AC ∴AEAC ?AFAB

例7. 如图,D为△ABC中BC边上的一点,∠CAD=∠B,若AD=6,AB=8,BD=7,求DC的长。

分析:本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形,我们可以由基本图形中得到的相似三角形,从而得到对应边成比例,从而构造出关于所求线段的方程,使问题得以解决。

解:在△ADC和△BAC中

∵∠CAD=∠B,∠C=∠C

∴△ADC∽△BAC

篇二:初三数学_相似三角形练习题

相似三角形练习题

1.如图所示,给出下列条件:

①?B??ACD;②?ADC??ACB;③

ACAB2

?;④AC?AD?AB. CDBC

其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为() A.1

B.2

C.3

D.4

2.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( ) A.

ADBCBCDFCDBCCDAD

???? B. C. D. DFCECE((来自于:www.hN1C.coM 唯才 教育 网:初三数学相似三角形)ADEFBEEFAF

3. 如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1:4.其中正确的有:( ) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( ) A.1∶4

B.1∶2

C.2∶1

D

5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( ) A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 6.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( ) A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形

7.如图,在5?5方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是( )

A.先向下平移3格,再向右平移1格B.先向下平移2右平移1格

C.先向下平移2格,再向右平移2格D.先向下平移3格,再向右平移2格

8.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为()

A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

9.小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B

在同一条直

AD

B

O

C

D

的中

格,再向

线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 () A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米

10、在比例尺为1︰10000的地图上,一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是()

(A)2000000cm; (B)20000cm; (C)4000000cm; (D)40000cm.

11.如图一,在△ABC中,DE∥BC,AD=3,BD=2,则△ADE与四边形DBCE的面积比是() (A)3︰2; (B)3︰5; (C)9︰16;(D)9︰4.

E

C

A

(

A

2

2

2

2

一)

D

C

(图三)

F

12.如图三,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AB,那么下列比例式中正确的是( )

AEBFAECF

=; (B)=; EBFCEBFBDEADDEDF(C)=; (D)=.

BCBCABDC

(A)

13、(2009年甘肃白银)如图3,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( ) A.12m

B.10m

C.8m

D.7m

上裁剪宽纸条是旗杆的高与这一点

14、一张等腰三角形纸片,底边长l5cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往度均为3cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形( )

A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 二、填空题

1、已知:线段a=3,b=2,c=4,则b、a、c的第四比例项d= ; 则a、b、(a-b)的第四比例项是;3a、(2a-b)的比例中项是。 2、已知:数3、6,请再写出一个数,使这个数是另外两个数的比例中项,这是 。 3、已知:

个数

ac2a?c

? 。 ??,(b?d?0).则

b?dbd5

xyz

4、已知??,且3y=2z+6,则x=y=。

356

5、把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形,若剩下的矩形与原矩形相似,那么原矩形的长边和短边之比为 。 6、、在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,CD平分?ACB,DE∥BC,

如果AC=10,AE=4,那么BC= .

7、点G是△ABC的两条中线BD、CE的交点,如果△GDE的面积为6平方厘米,那么△ABC的面积

为 平方厘米.

8、在△ABC中,AB=8厘米,AC=6厘米,点D、E分别在边AB、AC边上,且以点A、D、E为顶点的三角形和以

点A、B、C为顶点的三角形相似.如果AD=2厘米,那么AE=厘米. 9、两个相似三角形的周长之比为3:4,则这两个三角形的面积之比为:

10、在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC.如果AD=8,DB=6,EC=9那么AE=11、在△ABC中,点G为重心,若BC边上的高为6,则点G到BC边的距为.

12、 在同一时刻,某人身高1.6米影长1米,一塔的影长25米,则这个塔高

13、已知线段AB是线段CD、EF的比例中项,CD = 2,EF = 8,那么AB = 14、两相似三角形的相似比为1:3,面积和为80,则较大的三角形面积为15、已知线段MN=8cm,又点P是线段MN的一个黄金分割点,

那么较长线段MP长是 cm.

16、如图一,棋盘上有三个白棋子A、B、C和两个黑棋子M、N,要使

△ABC与△MNP相似,那么第三个黑棋子P应该放在甲乙丙丁哪 个点上.答:应该在 .

17、如图,点D在AC上,且?ABD??C,AB?CD?2,则AD=______ .

A

18、锐角△ABC中,BC=6,S?ABC?12,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分(y >0),当x = ,公共部分面积y最大,y最大值 =,

B

D

且MN∥BC,

的面积为y

9题图

3),19、在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,若以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△A?B?C?,

使△ABC与△A?B?C?的相似比等于

1

,则点A?的坐标为 . 2

△ABC

20、如图,△ABC与△A′B′C ′是位似图形,点O是位似中心,若OA=2A A′,SS△A′B′C ′=________.

21、如图,△OAB的顶点B的坐标为(4,0),把△OAB沿x轴向右平移得

=8,则

△CDE,如果CB?1,那么OE的长为

22、如图,△ABC与△AEF中,AB?AE,BC?EF,?B??E,AB交EF于D.给出下列结论: ①?AFC??C;②DF?CF;

③△ADE∽△FDB;④?BFD??CAF.

其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).

23、如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为(1,1), 点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是 .

24、(2009年广西南宁)三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图6所得OA?20cm,OA??50cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周是 .

25、如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△是 .

26、如图(1),在平行四边形ABCD中,R在BC的延长线上,AR交BD于P,交CD于Q,若DQ∶CQ=4∶3,则AP∶PR

A D

Q

CRB

C B (4) 图图(3)图

27、如图(2),在梯形ABCD中,CD∥AB,AC、BD交于点O,过点O作AB的平行线交AD于点E,交BC于点F,则图中有对相似形三角形;若DC=9,AB=15,则OD∶OB=,EF=。

28、如图(3),在△ABC中,∠BAC=90,CE平分∠ACB,AD⊥BC,垂足为D,AD、CE相交于点F,则△AFC∽△ 。 29、如图(4),要使△AEF∽△ABC,已具备的条件是,还需补充的条件是或 或 。

所形成的ABC的面积

示).现测长的比

30、如图(5),点D是△ABC内一点,连结BD并延长到E,连结AD、AE,若∠BAD=20,AB?BC?AC,则∠EAC=

ADDEAE

BE C

B

C

图 (5) 图(6)

222

31、在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,则有AD= ,ED= ,BD= 。若DF⊥AC,则还有线段 是比例中项。

32、把一个三角形变成和它相似的三角形,而面积扩大为原来的100倍,则边长扩大为 原来的 倍。 33、在△ABC中,DE∥BC,

N

图(2)

AD1

?,且S△ABC=8cm2,那么S△ADE= cm2 AB2

A

E

图(3)

C

A

34、如图(2),C为线段AB上的一点,△ACM、△CBN都是等边三角形,若AC=3, BC=2,则△MCD与△BND

的面积比为 。

35、如图(3),在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则△ADE与四边形DECB的面积之比为 三、解答题

1、已知,如图,在平行四边形ABCD中,E为AC三分之一处,即AE =

= FB

C

1

AC,DE的延长线交AB于F,求证:AF 3

2、如图所示,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C (1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若AB=4,∠BAE=30°, 求AE的长;(3)在(1)(2)的条件下,若AD=3,求BF长.

(计算结果含根号).

C

3、如图(3),在△ABC中,E、F分别是AC、BC的中点,AF与BE交于点O,ED∥AF,交BC于点D,求BO∶OE的值。

2

4、如图,AE=AD·AB,且∠ABE=∠C,试说明△BCE∽△EBD。

5、如图五,在△ABC中,矩形DEFG的一边DE在BC上,点G、F分别在

AB、AC上,AH是BC边上的高,AH与GF相交于K,已知 S△AGF︰S△ABC=9︰64,EF=10,求AH的长.

6、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,点E在对角线BD上,

且?DCE??ADB,如果BC?9,CD∶BD = 2∶3,求CE的长.

7、在九年级数学课本练习册上有这样一道题:

已知:如图七,点O为四边形ABCD内一点,连接OA、OB、OC、OD, 点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上,且有OA=OB,EH∥AD,

D

H E

2

图五)

C

C

C B

(图七)

HG∥CD,FG∥BC,求证:EA=FB.

若将这题目中的点O移至四边形ABCD外,其它条件不变,题中要求证的 结论还成立吗?

(1)请在图八中画出相应的图形,观察并回答:(填成立或不成立); (2)证明你(1)中观察到的结论.

C

图八)

B

一、填空题:

篇三:相似三角形 基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点与经典题型

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数).

知识点2 比例线段的相关概念

(1)如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是

ab?mn

,或写

成a:b?m:n.注:在求线段比时,线段单位要统一。

(2)在四条线段a,b,c,d中,如果a和b的比等于c和d的比,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,bd

简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a是b,c,d的第四比例项,?.②

ca

在比例式

ab?cd

(a:b?c:d)中,a、d叫比例外项,b、c叫比例内项, a、c叫比例前项,b、d叫比例后

项,d叫第四比例项,如果b=c,即 a:b?b:d那么b叫做a、d的比例中项, 此时有b2?ad。

(3)黄金分割:把线段AB分成两条线段AC,BC(AC?BC),且使AC是AB和BC的比例中项,即

AC?AB?BC,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC?

2

5?12

AB≈

0.618AB

.即

ACAB

?

BCAC

?

12

简记为:

长全

短长

12

注:黄金三角形:顶角是360的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0)

(1) 基本性质:

①a:b?c:d?ad?bc;②a:b?b:c?b?a?c.

注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如ad?bc,除

了可化为a:b?c:d,还可化为a:c?b:d,c:d?a:b,b:d?a:c,b:a?d:c,c:a?d:b,d:c?b:a,d:b?c:a.

b?a?,(交换内项)?cd?

acc?d

(交换外项)(2) 更比性质(交换比例的内项或外项):????,

bdba?

b?d?.(同时交换内外项)?ca?(3)反比性质(把比的前项、后项交换):

(4)合、分比性质:

ab?cd?

a?bb

?c?ddab?cd?

ba?dc

2

注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间

d?c?b?a??ac?ac

发生同样和差变化比例仍成立.如:?等等. ??

a?bc?dbd???c?d?a?b

(5)等比性质:如果

ab?cd?ef???

mn

(b?d?f???n?0),那么

a?c?e???mb?d?f???n

?ab

注:

①此性质的证明运用了“设k法”(即引入新的参数k)这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法.②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零.

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立.如:acea?2c3ea?2c?3ea???????;其中b?2d?3f?0. bdfb?2d3fb?2d?3fb

知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

由DE∥BC可得: 注:

B

ADDB

?

AEEC

BDAD

?

ECEA

ADAB

?

AEAC

①重要结论:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比............例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.

③平行线的应用:在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例

已知AD∥BE∥CF,

可得

ABBC

?DEEF

或ABAC

?DEDF

或BCAB

?EFDE

或BCAC

?EFDF

或ABDE

?BCEF

等.

注:平行线分线段成比例定理的推论:

平行线等分线段定理:两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念

对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注:

①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.

③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.

知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系:

①反身性:对于任一?ABC有?ABC∽?ABC.

②对称性:若?ABC∽?A'B'C',则?A'B'C'∽?ABC.

③传递性:若?ABC∽?A'B'C?,且?A'B'C?∽?A??B??C??,则?ABC∽?A??B??C?? (2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

定理的基本图形:

D

B

D

(2)

B

(3)

用数学语言表述是:?DE//BC,∴ ?

ADE∽?ABC.

知识点7 三角形相似的判定方法

1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.

2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似.

3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.

4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用.

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注:

射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高, 则AD2=BD·DC,AB2=BD·BC ,AC2=CD·BC 。

知识点8 相似三角形常见的图形

B

C

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:

(1) 如图:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”图)

B

D

D

(2)

B

(3)

(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。(有“反A共角型”、

“反A共角共边型”、 “蝶型”)

B

E

1DC

2B

A

A

4

D

E

1D

C

A

B

CE

(3) 如图:称为“垂直型”(有“双垂直共角型”、

“双垂直共角共边型(也称“射影定理型”)”“三垂直型”)

B

B

(D)

A

D

E

B

C

(4)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。 2、几种基本图形的具体应用:

(1)若DE∥BC(A型和X型)则△

ADE∽△ABC

(2)射影定理 若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)

222

则Rt△

ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB,CD=AD·BD,BC

=BD·AB;

(3)满足1、AC=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=

∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.

2

(4)当

ADAC

?

AEAB

或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.

知识点9:全等与相似的比较:

知识点10 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.

(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3)相似三角形周长的比等于相似比.

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.

知识点11 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的常用方法:(1)线段成比例的定义

(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系

2、证明题常用方法归纳:

(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”

(2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不

同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这

几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样

的三种:等线段代换、等比代换、等积代换. 即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。 ①

ab?mn,cd?

mmamcm'

,?',n?n (为中间比)②?

nnbndn

'

'

mcmmm''

,?'(m?m,n?n或?') ③?

bndnnn

a

(4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成

比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.

注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。

(5)比例问题:常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。

(6).对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离”出来的办法处理。