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人教版初三数学知识点

时间:2016-11-19 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:2014秋季最新版人教版九年级数学全册知识点

第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式:ax+bx+c=0时,应满足(a≠0) 22

21.2 降次——解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:

1、直接开平方法:

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为x=± m.

直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.

2、配方法

通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。

1.转化: 将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)

2.系数化1: 将二次项系数化为1

3.移项: 将常数项移到等号右侧

4.配方: 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方

5.变形: 将等号左边的代数式写成完全平方形式

6.开方: 左右同时开平方

7.求解: 整理即可得到原方程的根

3、公式法

公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展

从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.

第二十二章 二次函数

22.1二次函数及其图像

二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为y=ax+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

一般式 y=ax+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(b2-4ac)/4a) ;

顶点式

y=a(x-h)+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式

y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;

重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像,

可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 顶点

2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,4ac-b)/4a )

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b-4ac=0时,P在x轴上。

开口

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0

,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 22222222

可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时

(即ab< 0 ),对称轴在y轴右。

事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的 斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

抛物线与x轴交点个数

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。Δ= b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值,当a<0时,函数在x= -b/2a处取得最大值

当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,

7.特殊值的形式

①当x=1时 y=a+b+c②当x=-1时 y=a-b+c③当x=2时 y=4a+2b+c

④当x=-2时 y=4a-2b+c 222

用函数观点看一元二次方程

2y?ax?bx?c与x轴有公共点,1. 如果抛物线公共点的横坐标是x0,那么当x?x0时,函数的值是0,因此x?x0

2就是方程ax?bx?c?0的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转

1. 图形的旋转

(1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。

(2)生活中的旋转现象大致有两大类:一类是物体的旋转运动,如时钟的时针、分针、秒针的转动,风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案,如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。

(3)图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定,旋转中心可以在图形上也可以在图形外。

(4)会找对应点,对应线段和对应角。

2. 旋转的基本特征:

(1)图形在旋转时,图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

(2)图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;

(3)图形在旋转时,图形的大小和形状都没有发生改变。

3. 几点说明:

(1)在理解旋转特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。

(2)旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。

(3)旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

23.2 中心对称

中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。

中心对称的性质:①关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。②关于中心对称的刘遇图形是全等形。

中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。

对称点的坐标规律:①关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数,②关于y轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,③关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。

23.3 课题学习 图案设计

灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计.

图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形,图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换,还要看图案是否很好的体现了设计意图.

第二十四章 圆

24.1 圆

定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。

圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心

(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。

(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。

(4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注:圆心一般用字母O表示

直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。

圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2,用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 周长计算公式

1.、已知直径:C=πd2、已知半径:C=2πr3、已知周长:D=c\π

4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长:1\2周长+直径

面积计算公式:

1、已知半径:S=πr平方2、已知直径:S=π(d\2)平方 3、已知周长:S=π(c\2π)平方 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

1. 点和圆的位置关系

① 点在圆内?点到圆心的距离小于半径② 点在圆上?点到圆心的距离等于半径

③ 点在圆外?点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3. 外接圆和外心

经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。

4. 直线和圆的位置关系

相交:直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。

相切:直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。

相离:直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。

5. 直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么

① 直线l和⊙O相交?d?r;② 直线l和⊙O相切?d?r;③ 直线l和⊙O相离?d?r。

圆和圆

定义:

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。 两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。

篇二:人教版初中数学知识点总结

七年级数学(上)知识点

人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.

第一章 有理数

一. 知识框架

二.知识概念 1.有理数: (1)凡能写成

qp

(p,q为整数且p?0)形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正

分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;?不是有理数;

?

?正有理数?

有理数?零

?

?负有理数?

?正整数?

?正分数?负整数?

?负分数

?

?整数?

有理数?

?

?分数?

?正整数??零?负整数??正分数?

?负分数

(2)有理数的分类: ①②

2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数:

(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.

4.绝对值:

(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;

(a?0)?a

(a?0)??a

(2) a??0(a?0)或a?? ;绝对值的问题经常分类讨论;

?a(a?0)????a(a?0)

5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么a的倒数是若ab=1? a、b互为倒数;若ab=-1? a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则:

(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数与0相加,仍得这个数.

8.有理数加法的运算律:

(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 10 有理数乘法法则:

(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;

(2)任何数同零相乘都得零;

(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.

11 有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc); (3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .

12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,

即a0

无意义.

1a

13.有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数;

(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an或 (a-b)n=(b-a)n .

14.乘方的定义:

(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;

(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂; 15.科学记数法:把一个大于10的数记成a310n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.

16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.

18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减.

本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正

负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣,教师培养学生的观察、归纳与概括的能力,使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时,应该多创设情境,充分体现学生学习的主体性地位。

第二章 整式的加减一.知识框架

二.知识概念

1.单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.

2.单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数. 3.多项式:几个单项式的和叫多项式.

4.多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。 通过本章学习,应使学生达到以下学习目标:

1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念,弄清它们之间的区别与联系。

2. 理解同类项概念,掌握合并同类项的方法,掌握去括号时符号的变化规律,能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上,进行整式的加减运算。 3. 理解整式中的字母表示数,整式的加减运算建立在数的运算基础上;理解合并同类项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。 4.能够分析实际问题中的数量关系,并用还有字母的式子表示出来。

在本章学习中,教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。

第二章 一元一次方程

一. 知识框架

二.知识概念

1.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.

2.一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).

3.一元一次方程解法的一般步骤: 整理方程 ?? 去分母 ?? 去括号 ?? 移项 ?? 合并同类项 ?? 系数化为1 ?? (检验方程的解). 4.列一元一次方程解应用题:

(1)读题分析法:???? 多用于“和,差,倍,分问题”

仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.

(2)画图分析法: ???? 多用于“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.

11.列方程解应用题的常用公式:

(1)行程问题: 距离=速度2时间速度?

距离时间

距离速

人教版初三数学知识点

时间?;

工作量工效

(2)工程问题: 工作量=工效2工时工效?(3)比率问题: 部分=全体2比率 比率?

工作量工时

工时?

部分比率

部分全体

全体?;