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初三数学圆的切线

时间:2016-12-05 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:初中数学:圆的切线的证明

圆的切线的证明

一、“见切点,连半径”――证明半径与直线垂直

例1.AB是?O的直径,AB?AC,BC交⊙O于P,Q是AC的中点.求证:QP是⊙O的切线.

分析:本例中,要证明“QP是⊙O的切线”,因为P在⊙O上,如果结论成立,则点P肯定是切点,所以只要连接OP,证明OP?PQ即可.

证明:连接OP,PA,

?AB是⊙O的直径,∴?APB?90?. 在Rt△APC中,Q是AC的中点,

∴PQ?AQ,∴?QAP??QPA.

又OP?OA,∴?OAP??QPA,∴?OAQ??QPO.

?AB?AC,∴OP?PQ.∴QP是⊙O的切线.

二、“过圆心,作垂线”――证明垂线段等于半径

例2.直角梯形ABCD中,以腰CD为直径的⊙O1恰与另一腰AB相切,求证:以腰AB为直径的⊙O2也与腰CD相切.

分析:要证明以腰AB为直径的⊙O2与腰CD相切,因为⊙O2的半径是AB的一半,

CD如果与⊙O2相切,由切线的定义可知,则O2到CD的距离应等于半径

12

AB,所以过O2

作O2E?CD,证明O2E?

12

AB即可.

证明:过O1作O1O2?AB,则O2A?O2B, 作DF?O2O1于F,作O2E?CD于E,

?AB与⊙O1相切,∴O1O2?O1D.

O??O2O1E??DO1F,∴Rt△O2O1E≌Rt△DO1F, ∴O2E?DF.

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?DF?O2A,∴O2E?

12

AB,∴以腰AB为直径的⊙O2也与腰CD相切.

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篇二:精品 2013中考数学 圆的切线证明(含详细解题步骤)

第49课时 圆的切线证明

例题精讲

? 例1 在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4.求证:以C为圆心,2.4为半

径的圆与AB相切.

证明:以C为圆心,作一圆相切AB于D点,则CD ⊥AB,

∵AC=3,BC=4,根据勾股定理得AB=5 又根据S△ABC 面积的求法有等式为: 2S△ABC =AC?BC=AB?CD得CD=2.4

即是以C为圆心,2.4为半径的圆与AB相切得证

? 例2 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,AD⊥CD于D,AC平分∠BAD,

求证:CD是☉O的切线. 证明: ∵AC平分∠BAD ∴∠1=∠2又∵OA=OC∴∠2=∠ACO故∠1=∠ACO ∴CO∥AD ∴CO⊥CD

已知C在圆上,∴CD为☉O的切线

? 例3如图,AB是☉O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,AC+BD=AB.求证:

L是☉O的切线。

证明:过O作OE⊥L于E点

1

A

∵AC⊥LBD⊥L ∴AC∥OE∥BD 又∵O为AB的中点 故OE为梯形ABCD的中位线∴OE=

11

(AC+BD)= AB=OA=OB 22

即OE的长为半径,故L是☉O的切线

专题训练49

2. 如图 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,E为AB中点,且DE平分∠ADC,CE

平分∠BCD。求证:以AB为直径的圆与DC相切.证明:过E作EF⊥CD于F,由DE平分∠ADC ∴∠A=∠DFE=90

∠ADE=∠EDF

E

根据角平分线的性质,则EA=EF 又∵E为AB中点 ∴EA=EB=EF=

1

AB 2

B

∴以AB为直径的圆与CD相切

3. ☉O1与☉O2的半径分别为5和,且O2在☉O1上,A、B是☉O1上两点,∠

O2AB=15,试判断直线O1B与☉O2的位置关系,为什么?

证明:连结O1B,并作O2C⊥O1B于点C ∵∠O2AB=15

(圆心角是圆周角两倍)

52

∴∠O2O1B=30

15

∴在Rt△O2O1C中,O2C=O2O1=

22

O2C与☉O2的半径相等,故直线O1B与☉O2相切

2

4. 如图,AB是☉O的直径,AD是弦,∠DAB=22.5,延长AB到点C,使得∠ACD=45 求证:CD是☉O的切线. 证明:连结OD

∵∠OAC=22.5°∴∠DOC=45°

又∵∠C=45°

C

∴∠ODC=90°

A

即OD⊥CD 且D在☉O上

∴CD是☉O的切线

5. 如图,AB是☉O的直径,AD是弦,E是☉O外一点,EF⊥AB于F,交AD于

点C,且CE=ED,求证:DE为☉O的切线.证明: 连结OD

∵OA=OD∴∠A=∠ADO∵CE=ED∴∠ECD=∠EDC=∠ACF 又∵EF⊥AB ∴∠A+∠ACF=90° 替换得 ∠ADO+∠EDC=90° 即是OD⊥ED ∴DE为☉O的切线

6. 如图,在△ABC中,CE平分∠ACB交AB于E,F为CE上一点,AE=AF,AF

交BC边于D点,过A,B,D点作☉O.求证:AC是☉O的切线 证明:作直径AH,则∠ADH=90°

∵AE=AF ∴∠AEF=∠AFE ∵∠AEF=∠B+∠ECB

∠AFE=∠DAC+∠ACE

3

E

B

A

C

已知EC平分∠ACB ∴∠ECB=∠ACE 由上可得 ∠B=∠DAC 在☉O中,由于∠B与∠H共AD ∴∠B=∠H=∠DAC 又∠H+∠DAH=90° ∴∠DAC+∠DAH=90° 即是 AH⊥CA 即AC是☉O的切线

7. 如图,AB是☉O的直径,BC⊥AB于点B,连OC,弦AD∥OC,求证:CD是☉O

的切线.

证明: 连结DO∵AO=DO ∴∠A=∠ODA

C

∵AD∥OC ∴∠A=∠COB ∠ODA=∠DOC

1 由上得: ∠DOC=∠COB ○2 又 ∵DO=BO ○3 CO=CO ○

A

则 △CDO≌△CBO

∴∠CDO=∠CBA=90° CD⊥DO ∴CD是☉O的切线

8. 如图,AB=BC,以AB为直径的☉O交AC于点D,过D作DE⊥BC,垂足为E,

求证:DE是☉O的切线. 证明:连结DO,BD

∵AB是直径 ∴∠ADB=90°∵AB=BC ∴D为AC中点 AD=DC ∴OD为△ABC的中位线 ∴OD∥BC

又∵DE⊥BC ∴DE⊥DO 即证 DE是☉O的切线.

4

A

C

9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径作☉O交AB于D,E为AC的

中点,连接DE,求证:DE是☉O的切线. 证明: 连结OD,CD

∵BC为直径 ∴∠BDC=∠ADC=90° 则易证 ∠B=∠DCA

在Rt△ADC中,由于E是AC中点 ∴DE=EC∴∠DCA=∠EDC 由上可知 ∠B=∠EDC 又OB=OC 有∠ODC=∠OCD ∵∠B+∠OCD=90°

替换得 ∠EDC+∠ODC=90° 即OD⊥DE ∴DE是☉O的切线

10. △ABC中,AB=AC,点O在AB上,☉O过B分别与AB、BC相交于D、E,但☉

O与AC不相交,又EF⊥AC于F,求证:EF为☉O切线。

证明:连结OE

∵OB=OE∴∠B=∠OEB ∵AB=AC∴∠B=∠C 故有 ∠OEB=∠C ∴OE∥AC 又∵EF⊥AC ∴OE⊥EF 即E

初三数学圆的切线

F为☉O切线。

11.如图,在△ABC中,以AB为直径作☉O,交AC于点E,点D为AE中点,

DB交AC于F,BC=CF,求证:BC为☉O切线。 证明:连结BE ∵BC=CF ∴∠FBC=∠BFC

∵∠BFC=∠A+∠ABF∴∠FBC=∠A+∠ABF

5

A

篇三:圆的切线练习题

圆的切线练习题

例1、如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的 延长线交于点E.求证:直线CD为⊙O的切线;

对应练: 如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切?为什么?(2)连接CD,若CD=5,求AB的长.

例2、已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上, ⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F. (1)求证:直线EF是⊙O的切线;

(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

对应练:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、BC上的点.经过A、D两点

的⊙O分别交AB、AC于点E、F,且D为弧EF的中点. (1)求证:BC与⊙O相切;

(2)当

AD= ;∠CAD=30°时.求弧AD的长.

3.如图,AB是半圆O的直径,点C是⊙O上一点(不与A,B重合),连接AC,BC,过点O作OD∥AC交BC于点D,在OD的延长线上取一点E,连接EB,使∠OEB=∠ABC. ⑴求证:BE是⊙O的切线;⑵若OA=10,BC=16,求BE的长.

BE

4.如图,⊙ O经过点B、D、E,BD是⊙ O的直径,∠C=90°,BE平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线; (2)当AE=4,AD=2时,求⊙ O的半径及BC的长.

5、如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦,过点C作CD⊥AB 与点D,

将△ACD沿AC翻折,点D落在点E处,AE交⊙O于点F ,连接OC、

(1)求证:CE是⊙O的切线。

(2)若FC∥AB,求证:四边形 AOCF是菱形。

A

B

6、如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC,作∠DAC=∠ACD,作AF⊥ED于点F,交⊙O于点G.(1)求证:AD是⊙O的切线; (2)如果⊙O的半径是6cm,EC=8cm,求GF的长.

7、如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交于点D.(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由; (2)若∠ACB=120°,OA=2.求CD的长.

8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点, 且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB

上,⊙O与AB交于点E.(1)求证:直线BD与⊙O相切; (2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.

9、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)如果BC=8,AB=5,求CE的长

10、在△ABC中,AB=AC,点O是△ABC的外心,连接AO并延长交BC于D,交△ABC的外接圆于E,过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q,设OQ=,

(1)求⊙O的半径;(2)若DE=,求四边形ACEB的周长

11、如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径.点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D。(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,

⊙O的直径为l0,求AB的长度.

92

35

12如图,在△ABC中,D为AB上一点,⊙ O经过B、C、D三点,∠COD=90°,∠ACD=∠BCO+∠BDO. (1)求证:直线AC是⊙ O的切线;(2)若∠BCO=15°,⊙ O的半径为2,求BD的长.