首页 | 小学 | 初中 | 高中 | 作文 | 英语 | 幼教 | 综合 | 早知道 | 范文大全 |
初一资料 当前位置:唯才网 > 初中 > 初一 > 初一资料 > 正文 唯才网手机站

初一下册因式分解

时间:2016-07-05 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:初一数学 因式分解的常用方法

因式分解的常用方法

第一部分:方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:

2222 (1)(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b);

222222 (2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b);

22333322 (3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b);

22333322 (4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b).

下面再补充两个常用的公式:

2222 (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);

333222 (6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);

例.已知a,b,c是?ABC的三边,且a?b?c?ab?bc?ca, 则?ABC的形状是( )

A.直角三角形B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解:a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca 222222222

?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c

三、分组分解法.

(一)分组后能直接提公因式

例1、分解因式:am?an?bm?bn

分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。

解:原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式!

=(m?n)(a?b)

例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx

解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组;

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解:原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by)

=2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b)

=(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)

2练习:分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

(二)分组后能直接运用公式

例3、分解因式:x2?y2?ax?ay

分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。

解:原式=(x2?y2)?(ax?ay)

=(x?y)(x?y)?a(x?y)

=(x?y)(x?y?a)

222例4、分解因式:a?2ab?b?c

解:原式=(a2?2ab?b2)?c2

=(a?b)2?c2

=(a?b?c)(a?b?c)

练习:分解因式3、x2?x?9y2?3y 4、x2?y2?z2?2yz

22综合练习:(1)x3?x2y?xy2?y3 (2)ax?bx?bx?ax?a?b

22222(3)x?6xy?9y?16a?8a?1 (4)a?6ab?12b?9b?4a

4322222(5)a?2a?a?9 (6)4ax?4ay?bx?by

四、十字相

初一下册因式分解

乘法.

(一)二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。

特点:(1)二次项系数是1;

(2)常数项是两个数的乘积;

(3)一次项系数是常数项的两因数的和。 2

思考:十字相乘有什么基本规律?

例.已知0<a≤5,且a为整数,若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a. 2

解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数,a?1

例5、分解因式:x?5x?6

分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,

即2+3=5。 1 2

解:x?5x?6=x2?(2?3)x?2?3

=(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式:x?7x?6

解:原式=x2?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1

=(x?1)(x?6)(-1)+(-6)= -7

222练习5、分解因式(1)x?14x?24(2)a?15a?36 (3)x?4x?5

22练习6、分解因式(1)x?x?2(2)y2?2y?15(3)x?10x?24

2(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c

条件:(1)a?a1a2 a1 c1

(2)c?c1c2 ac2

(3)b?a1c2?a2c1b?a1c2?a2c1

分解结果:ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

2例7、分解因式:3x?11x?10

分析:1 -2

(-6)+(-5)= -11

解:3x?11x?10=(x?2)(3x?5)

2210x2?17x?3(4)?6y2?11y?10 练习7、分解因式:(1)5x?7x?6 (2)3x?7x?2 (3)

(三)二次项系数为1的齐次多项式 22222

b 例8、分解因式:a?8ab?128

分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。

1 8b

8b+(-16b)= -8b

282=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) 解:a?8ab?12b

=(a?8b)(a?16b)

22

练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b

(四)二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x2?7xy?6y2 例10、x2y2?3xy?2

1 -2y 把xy看作一个整体 -1

(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3

解:原式=(x?2y)(2x?3y)解:原式=(xy?1)(xy?2)

222222练习9、分解因式:(1)15x2?7xy?4y2 (2)ax?6ax?8

63综合练习10、(1)8x?7x?1(2)12x2?11xy?15y2(3)(x?y)2?3(x?y)?10

22(4)(a?b)2?4a?4b?3(5)x2y2?5x2y?6x2 (6)m?4mn?4n?3m?6n?2

222222(7)x?4xy?4y?2x?4y?3 (8)5(a?b)?23(a?b)?10(a?b)

222(9)4x?4xy?6x?3y?y?10(10)12(x?y)?11(x2?y2)?2(x?y)2

2222思考:分解因式:abcx?(ab?c)x?abc

五、换元法。

例13、分解因式(1)2005x?(2005?1)x?2005

(2)(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x

解:(1)设2005=a,则原式=ax?(a?1)x?a

=(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005)

(2)型如abcd?e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

22222

原式=(x2?7x?6)(x2?5x?6)?x2

设x2?5x?6?A,则x2?7x?6?A?2x

∴原式=(A?2x)A?x2=A2?2Ax?x2

=(A?x)2=(x2?6x?6)2

练习13、分解因式(1)(x2?xy?y2)2?4xy(x2?y2) (2)(x2?3x?2)(4x2?8x?3)?90

(3)(a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2

例14、分解因式(1)2x4?x3?6x2?x?2

观察:此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。

22解:原式=x(2x?x?6?1111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx

1122设x??t,则x?2?t?2 xx

∴原式=x2(2t2?2)?t?6?=x22t2?t?10

21????2=x?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2? xx????

21????22=x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1 xx???????????

=(x?1)(2x?1)(x?2)

432(2)x?4x?x?4x?1 2

41??1??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????

1122设x??y,则x?2?y?2 xx

222 ∴原式=x(y?4y?3)=x(y?1)(y?3)

11222 =x(x??1)(x??3)=x?x?1x?3x?1 xx

432练习14、(1)6x?7x?36x?7x?6

4322(2)x?2x?x?1?2(x?x) 解:原式=x(x?4x?1?22????

六、添项、拆项、配方法。

32例15、分解因式(1)x?3x?4

解法1——拆项。解法2——添项。

3232原式=x?1?3x?3 原式=x?3x?4x?4x?4

篇二:初一下册数学因式分解练习题

初一下册数学因式分解练习

一.认识公因式

1、称为多项式各项的公因式

2、①多项式a2b+ab2的公因式是 ;

②多项式3x2-3y的公因式是 ;

③多项式3x2-6x3的公因式是 。

确定一个多项式的公因式时,要从 和 两方面,分别进行考虑。

3、练习:写出下列多项式各项的公因式

(1)8x-16(2)a2x2y-axy2 (3)4x2-2x(4)6a2b-4a3b3-2ab

概念2 叫做多项式的因式分解

二、展示

1、下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是?

(1)ab+ac+d=a(b+c)+d;(2)a2-1=(a+1)(a-1);(3)(a+1)(a-1)=a2-1

2、把下列各式分解因式

(1)6a3b-9a2b2c (2)-2m3+8m2-12m

三、拓展

1、把下列各式分解因式

(1)(a+b)2-2(a+b) (2)6q(p+q)-4p(p+q)

四、评价

1、 把下列各式分解因式.(1) (2)

(3) (4)

2、把下列各式分解因式:

(1) (a+b)(a-b)-(b+a);(2) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a);

(3) 10a(x-y)- 5b(y-x); (4) 3(x-1)y-(1-x)z 2 33

篇三:初一下册因式分解

初一下册因式分解

初一数学下册因式分解 X2-4X+Y2+6Y+13=0 X=?Y=? 参考答案:

13=4+9

所以(X2-4X+4)+(Y2+6Y+9)=0

(X-2)2+(Y+3)2=0

平方大于等于0,相加等于0

若有一个大于0,则另一个小于0,不成立。

所以两个都等于0

所以X-2=0,Y+3=0

X=2,Y=-3