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高三导数专题复习

时间:2016-04-13 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:高三数学专题复习导数专题

导数专题

1、考点梳理:

重点考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间、极值、最值,以及利用导数解决生活中的优化问题,还有恒成立问题、比较大小问题、方程根的个数问题,有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。

2、求导公式:

函数 y?c 导数y?f(x)?xn(n?Q*) y?sinx y?cosx y?f(x)?ax y?f(x)?ex f(x)?logax f(x)?lnx

3、导数运算法则

导数运算法则

1.

2.

3.

4、复合函数的导数

复合函数y?fg?x?的导数和函数y?f?u?,u?g?x?的导数间的关系为??

??y?x?yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

5、思考探究

A.f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件吗?

B.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?它是可导函数在该点取得极值的什么条件?

1、设函数f,求f?ce?2.71828...是自然对数的底数,c?R?2x

间、最大值。

ex42、设f(x)=a为正实数,当a=f(x)的极值点。 31+ax

3、已知函数f(x)?lnx?ax??e??x?的单调区1?a?1(a?R,)当a??1时,求曲线y?f(x)在点x

(2,f(2))处的切线方程。

4、已知函数f(x)=x+2aln x,若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数2

a的值;

一、求单调区间

1、已知函数f(x)=(x-k)ex,

(1)求f(x)的单调区间;

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值

2、设函数f(x)=ex-ax-2.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.

3、)已知函数f(x)=x2+2aln x.

(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间;

a4、已知函数f(x)=x++ln x(a∈R),求函数f(x)的单调区间; x

115、已知函数f(x)=aln x-x2+(a∈R且a≠0),求f(x)的单调区间; 22

二、恒成立问题

ex

1、设f(x)=,其中a为正实数,若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 1+ax

2、已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R),要使f(x)在(0,2)上单调递增,试求a的取值范围。

a3、已知函数f(x)=xln x(a∈R).若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求a的取值x

范围.

4、已知函数f(x)=x3-ax2-x+a,其中a为实数,若f(x)在(-∞,-2]和[3,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.

篇二:高三数学导数复习精选题(含答案)

1. 在曲线y=x2上切线的倾斜角为

?

的点为( ) 4

1111

A.(0,0)B.(2,4) C.(,)D.(,)

41624

2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为( )

A.2(x2-a2)B.3(x2+a2) C.3(x2-a2)D.2(x2+a2)

2x2

3.函数y=2的导数是 ( )

(x?1)2

22

4x(x2?1)?8x3/4x(x?1)?4xA.y= B.y= 2323

(x?1)(x?1)

/

22x(x2?1)?8x3/4x(x?1)?4xC.y= D.y=

(x2?1)3(x2?1)3

/

方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.0

4.点P在曲线y=x3-x+2上移动,设点P处切线的倾斜角为α则α的取值范围是 ( ) A.[0,

??3?3??3?

]B.[0,]∪[,π) C.[,π)D.(,]

444222

6.函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是( )

A.a>0B.a<0 C.a≥0 D.a≤0

7.函数y=x+4x?x2最大值为 ( ) A.2+22 B.2 C.2+ 8.若曲线y=

2D.4

1

有一切线与直线2x-y+1=0垂直,则切点是 ( ) x

A.(2,

22222

)B.(-,-) C.(2,-)D.(-2,) 22222

2x?3f(x)

的值是 ( )

x?3x?3

9.已知f(3)=2,f/(3)= -2,则lim

A.-4 B.0C.8 D.10

10.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处有极大值1,在x=2处有极小值0,则常数a,b,c,d分别为 ( ) A.-

13131313

,-,0,1B.-,-,0,-1 C.,-,0,-1 D.,-,0,1 44444444

11.若直线y=kx与直线y=x3-3x2+2x相切,则. 12.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是

12

x-2x+5,求函数f(x)的递增区间 2

x

17.当x>0时,证明不等式:<ln(1+x)<x.

1?x

15.已知f(x)=x3-

20.若f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2处取得极值. ⑴求a、b的值; ⑵求f(x)在[

1

,2]上的最大值和最小值. 2

已知二次函数f(x)满足:①在x=1时有极值;②图象过点(0,3),且在该点处的切线与直线2x+y=0平行. ⑴求f(x)的解析式;

⑵求函数g(x)= f(x2)在[-2,2]上的最大值和最小值. 21.(14分)设函数f(x)=ax3+bx2+cx的极小值为-8,其导函数y= f/(x)的图象经过点 (-2,0)和(

2

,0). 3

⑴求f(x)的解析式;

⑵若对x∈[-3,3]都有f(x)≥m2-14m恒成立,求实数m的取值范围.

1. 设函数f(x)在x=x0处可导,则lim

h?0

f(x0?h)?f(x0)

( )

h

A与x0,h都有关 B仅与x0有关而与h无关 Ch有关而与x0无关 Dx0、h均无关 答案:B(考查导数的定义) 2. (理科)下列求导运算正确的

( )

A.(x+)??1?

x

x

1x11B.(log 2x)′=2

xln2x

2

C.(3)′=3log3eD. (xcosx)′=-2xsinx解析:A错,∵(x+)??1?

1

x1 x2

1

xln2

B正确,∵(log2x)′=

x

x

C错,∵(3)′=3ln3

22

D错,∵(xcosx)′=2xcosx+ x(-sinx)

答案:B(考查导数的运算)

(文科)已知命题p:函数y=f(x)的导函数是常数函数;命题q:函数y=f(x)是一次函数,则命题p是命题q的 ( )

A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案:B(考查导数的运算)

3. 函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于( )

A B C3 D4 解析:y′|x=1=[(x2+2x+1)(x-1)]′|x=1=[x3+x2-x-1]′|xx=1=(3x2+2x-1)| x=1 答案:D(考查导数的运算)

4. 设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于( )

解析:f′(x)=3ax2+6x,f′(-1)=3a-6=4,所以a答案:D(考查导数的运算)

5. 曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为( )

A=3x-4B=-3x+2C=-4x+3D=4x-5 解析:y′=3x2-6x,∴y′|x=1=-3

∴在(1,-1)处的切线方程为y+1=-3(x-1) 答案:B(考查导数的几何意义)

6. 某物体的位移S(米)与时间t(秒)的函数关系为s=2(1-t)2的直线运动,则t秒时的瞬时速度为( )

4 C D0解析:s′=-4(1-t),∴当t=08 s时,v=-0答案:D(考查导数实际意义)

7.

f(x)?x3?3x2?3x的极值点个数为()

A. 0 B.1 C.2 D.3 答案:A(考查导数的应用之求函数极值)

3

8. (理科)已知a>0,函数f(x)=x-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值

是( )

BC D解析:f?(x)=3x2-a在[1,+∞)上,f?(x)≥0恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)

上恒成立,∴a≤3答案:D(考查导数的应用之求函数单调性)

2

(文科)函数y=x(x-3)的减区间是( )

0) B2,+∞) C0,2) D2,2) 解析:y′=3x2-6x,由y′<0,得0<x<2答案:C(考查导数的应用之求函数单调性)

9. 设函数y?f(x)在定义域内的导函数为y?f?(x),y?f(x)的图象如图1所示,则

y?f?(

x)

的图象可能为 ()

答案:D(考查导数应用之单调性)

10. 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面左图的容器中,下列四个

图像中能正确表示左图容器中水的高度h与时间t的关系的是()

h h

A B

答案:B

(考查导数几何意义) 一、

填空题

2x?x2

11.

(理科)函数y=的最大值为_____

x?1

答案:

3

(文科)函数y?x4?2x2?5在区间??2,2?上的最大值为,最小值 答案:13,4(考查导数的应用之求函数最值)

3

12. 若函数f(x)=x-ax-1在实数集R上单调递增,则实数a的取值范围为 。

223

解析:f?(x)=3x-a,3x-a>0在R上恒成立,∴a<0a=0时,f(x)=x-1在R

上单调递增,∴a≤0

13. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=______?f?(1)?0,

解析:f′(x)=3x2+2ax+b,由题意得?

?f(1)?10,

∴?

?3?2a?b?0

?a??3,?a?4, ∴或? ?2

b?3b??11.???1?a?b?a?10.

∴f(2)=11或f(2)=18答案:11或18(考查导数的应用之极值)

14. 曲线y=2-

121

x与y=x3-2在交点处的切线夹角是__________ 24

?x2y?2???2322

解析:由?得x+2x-16=0,(x-2)(x+4x+8)=0,∴x=2 3

?y?x?2?4?

∴两曲线只有一个交点∵y′=(2-

12

x)′=-x,∴y′|x=2=-22

x33

又y′=(-2)′=x2,∴当x=2时,y′=344

∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3,

|

?2?3|=11?(?2)?3答案:

π

(考查导数几何意义) 4

15. (理科)设底为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为

解析:设底面边长为x,则高为h=

4Vx

2

∴S表=3×

4Vx

2

·x+2×

243V2

x=+x4x2

∴S′=-

4V

+3xS′=0,得x

2x

答案:

4V

(文科)当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,为使容积最大且所用材料最省,它的高h与底面半径R应满足的关系式为

S?2?R2

提示:S=2?Rh+2?R?h=

2?R

2

11S?2?R2

?R2=(S?2?R2)R?SR??R3 ?V(R)=

222?R

V'(R))=0?S?6?R2 ?6?R2?2?Rh?2?R2?h?2R.

答案:h?2R(考查导数的应用)

篇三:2015届高三导数一轮复习经典题

导数及其应用

一、基础知识要记牢

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f′(x0).

(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 二、经典例题领悟好

x

[例1] (1)(2013·湖北荆门调研)曲线y在点(1,1)处的切线方程为________.

2x-1(2)(2013·广东高考)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=

________.

解决函数切线的相关问题,需抓住以下关键点: ?1?切点是交点.

?2?在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系—方程?组?.

?3?求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上;在点P处的切线,点P是切点.

三、预测押题不能少

1.已知偶函数f(x)在R上的任一取值都有导数,且f′(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在x=-5处的切线斜率为( )

A.2 C.1

函数的单调性与导数的关系:

在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减.

二、经典例题领悟好

[例2] (2013·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性.

B.-2 D.-1

利用导数研究函数单调性的一般步骤

(1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x);

(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可.

②若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.

三、预测押题不能少

1

2.已知函数f(x)=x3+mx2-3m2x+1,m∈R.

3

(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求m的取值范围.

(1)若在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.

(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.

二、经典例题领悟好

a

[例3] (2013·福建高考节选)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).

e(1)求函数f(x)的极值;

(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.

?1?求函数y=f?x?在某个区间上的极值的步骤: 第一步:求导数f′?x?;

第二步:求方程f′?x?=0的根x0; 第三步:检查f′?x?在x=x0左右的符号; ①左正右负?f?x?在x=x0处取极大值; ②左负右正?f?x?在x=x0处取极小值.

?2?求函数y=f?x?在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: 第一步:求函数y=f?x?在区间?a,b?内的极值?极大值或极小值?;

第二步:将y=f?x?的各极值与f?a?,f?b?进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

三、预测押题不能少

2

3.已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.

x

2??2?3,3?上的最(1)当函数f(x)的图像在点?3,f?处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在?3??2?

??

小值;

(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.

导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,利用导数解决函数的单调性与最值的命题趋势较强,各套试题多以压轴题呈现,大多将导数与函数、不等式、方程、数列交汇命题,考查不等式证明,方程根的讨论,求参数范围.

一、经典例题领悟好

[例1] (2013·辽宁省五校模拟)已知函数f(x)=aln x+1(a>0). 1

1; (1)当x>0时,求证:f(x)-1≥a??x(2)在区间(1,e)上f(x)>x恒成立,求实数a的范围.

篇四:高三专题复习资料(导数)

专题2函

常熟外国语学校 苏晓春

【课标要求】 1.课程目标

通过导数及其应用的教学,使学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的含义,体会导数的思想及其内涵;掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质及其在实际中的作用;感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用以及变量数学的思想方法,提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问题与实际问题的能力;体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值,培养学生的创新意识和创新精神. 2.复习要求

(1)了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义;了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

(2)理解导数的定义,能根据导数的定义,求函数y?c,y?x,y?x2,y?

1x

的导

数,知道 (x3)??3x2.了解基本初等函数的导数公式;了解导数的四则运算法则;能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

(3)了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间.了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值,以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.

(4)能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题;感受导数在解决实际问题中的作用. 3.复习建议

(1)导数概念是微积分的核心概念之一,要体会导数的思想及其内涵.要认真引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想.这里的常见初等函数指:y?c,y?x,

y?x,y?

2

1x

.

(2)教师应引导学生在解决具体问题的过程中,结合实例和函数的图象,借助几何直观,将研究函数的导数方法与初等方法作比较,让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

(3)重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学,发挥导数的工具作用.要注意运用学

生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题,帮助学生增强数学应用的意识,促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值.

(4)对于函数、导数的综合问题,要夯实基础,要熟练掌握y?ax3?bx2?cx?d 函数图像性质,会用二次函数图像性质研究有关三次函数图像性质. 重点加强与二次函数及以二次函数为基础的三次函数(二次函数是三次函数的导函数)有关的综合问题.有些问题可能未必是三次函数问题,但求导后最终转化为有关不等式的问题(主要是一次、二次不等式或分式、高次不等式), 所以在函数、导数的复习中要加强不等式的求解问题,特别是一次、二次不等式.另外对于含有绝对值的函数综合问题,要注意分类讨论,打开绝对值,再进行求解.

例1(填空题)

(1)(选修2-2 P7)已知f(x)?3x?1,则f(x)在??1,?0.9?上的平均变化率是.

解析: f(x)在??1,1?上的平均变化率为总为k. 答案:3

?ax,x?0,

(2) 已知函数f(x)??满足对任意x1?x2 ,都有

?(a?3)x?4a,x?0,

f(x1)?f(x2)

. ?0成立,则a的取值范围是

x1?x2

f(?0.9)?f(?1)?0.9?(?1)

?3,f(x)?kx?b的平均变化率

解析: ∵函数f(x)满足对任意x1?x2 ,都有

?0?a?1,

1?

?0?a?. 上为减函数,故 ?a?3?0,

4?0

?a?(a?3)?0?4a.

f(x1)?f(x2)

x1?x2

?0成立,∴函数f(x)在R

(3)已知函数f(x)?1?解析: ∵f?(x)?

12

3

x2

?sinx,x?(0,2?)则f(x)得单调增区间是 .

1

?cosx,令f?(x)?0,得

2

??5??

?cosx?0,故x??,?. 2?33?

(4)函数f(x)?x?ax?1在(0,2)内单调递减,则实数a的范围为 解析:∵函数f(x)?x?ax?1在(0,2)内单调递减,∴f?(x)?3x?2ax≤0在(0,2)内恒成立.即a?

32

x在(0,2)内恒成立.∵t?

32

x在?0,2?上的最大值为

32

?2?3,∴a?3.

3

2

2

答案:a?3

(5)设点P是曲线y?

x

3

2

?x?3x?3上的一个动点,则以P为切点的切线中,斜率取得

3

最小值时的切线方程是________________.

解析:设切线的斜率为k,则k?f?(x)?x2?2x?3?(x?1)2?4.当x?1时,k有最小值-4.又f(1)??

12x?3y?8?0

203

,所以切线方程为y?

203

??4(x?1),即12x?3y?8?0.答案:

(6)设曲线y?xn?1(n?N?)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则

x1?x2?...?xn?________.

解析:y??(n?1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y?1?(n?1)(x?1),令y?0,得xn?

nn?1

.则x1?x2?...?xn?

12n11??...??.答案: 23n?1n?1n?1

(7)已知函数f(x)?x3?3ax(a?R),若直线x?y?m?0对任意的m?R都不是曲线

y?f(x)的切线,则a的取值范围为 .

解析:∵f?(x)?3x2?3a,对任意x,f?(x)??1,??3a??1,a?

?

4

13

(8)(2009湖北高考)已知函数f(x)?f?(

?

4

)cosx?sinx,则f(

?

4

)的值为________.

?

4

析:?

4

∵?

4

f(x)?f?()cosx?sinx∴f?(x)??f?(

?

4

)sinx?cosx

∴f?()??f?()sin?cos

?

4

,∴f?(

?

4

)??1.

?

故f()?1)?

4

2

?

2

?1. 答案:1

(9)已知函数f(x)满足f(x)=f(??x),且当x?(?

f(1),f(2),f(3)的大小关系为________.

??

2,2

)时,f(x)?x?sinx,则

解析:由f(x)=f(??x),得函数f(x)的图象关于直线x?

?

2

对称,

又当x?(?

??

2,

????

)时,f?(x)?1?cosx?0恒成立, 所以f(x)在??,?上为增函数, 2?22?

f(2)?f(??2)f(??

?3

)f?

,f(3)?f(??3),且0????3??1??

?

2

2,所以

,即f(3)?f(1)?f(2).答案:f(3)?f(1)?f(2) ?(?f1))

(10)已知函数f(x)?alnx?x2(a为常数).若存在x??1,e?,使得f(x)?(a?2)x成立,则实数a的取值范围是 .

解析:∵alnx?x2?(a?2)x,∴a(x?lnx)?x2?2x.

∵x??1,e??lnx?1?x且不同时取等号.∴x?lnx.∴原题可转化为存在x??1,e?,a?

x?2xx?lnx

2

成立. ∴只要a?(

x?2xx?lnx

2

)m

i

即可.令h(x)?n

x?2xx?lnx

2

,又

h?(x)?

(x?1)(x?2?lnx)

(x?lnx)

2

?0在x??1,e?恒成立,所以h(x)在x??1,e?上为增函数,

h(x)min?h(1?)?.1所以a??1.答案:a??1

例2 已知函数f(x)?ax?

1x

2

(x?0,a?R).

(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若函数f(x)在x??3,???上为增函数,①用单调性定义求a的取值范围;②用导数定义求a的取值范围. 解析:(1)定义域???,0???0,???,关于原点对称. 当a?0时,f(x)?

1x

2

,满足对定义域上任意x,f(?x)?f(x),

∴a?0时,f(x)是偶函数;

当a?0时,f(1)?a?1,f(?1)?1?a,若f(x)为偶函数,则a?1?1?a, a?0矛盾, 若f(x)为奇函数,则a?1??(1?a),1??1矛盾,∴当a?0时,f(x)是非奇非偶函数. (2) ①任取x1?x2?3,f(x1)?f(x2)?ax1?

x2?x1xx

21

222

2

1x

21

?ax2?

1x

22

=a(x1?x2)?=(x1?x2)(a?

x1?x2xx

21

22

).

∵x1?x2?0,f(x))在?3,???上为增函数,∴a?

1x1x2x

3

x1?x2xx

21

22

,即a?

1x1x

22

?

1xx2

21

在[3,+∞)

上恒成立. ∵

22

?

1xx2

21

?

227

, ∴a?

227

.

②f?(x)?a?

2x

,∵函数f(x)在x??3,???上为增函数,∴f?(x)?0在x??3,???恒成立.

227

∴只要a?(

,∴a?)3max

.

例3已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10.(I)求函数f(x)的解析式;(II)设函数g(x)?f(x)?

13

mx,若g(x)的极值存在,求实数m

的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

解析:(I)由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0??① 又f?(x)?3x2?4bx?c,由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??② 联立①②,解得b??1,c?1.所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2(II)因为g(x)?x?2x?x?2?

3

2

13

mx令g?(x)?3x?4x?1?

13

2

13

m?0

2

当函数有极值时,则??0,方程3x?4x?1?

m?0有实数解,

23

由??4(1?m)?0,得m?1.①当m?1时,g?(x)?0有实数x?,在x?

23

左右两侧均有

g?(x)?0,故函数g(x)无极值②当m?1时,g?(x)?x1?

1(2?

x2?

1(2?

g?(x),g(x)情况如下表:

有两个实数

根0

所以在m?(??,1)时,函数g(x)有极值;

篇五:高考文科数学专题复习导数训练题

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

一、考点回顾

1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义.

2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 二、经典例题剖析 考点一:求导公式 例1f/(x)是f(x)?

13

x?2x?1的导函数,则f/(?1)? 3

1

x?2,则f(1)?f/(1)? 2

考点二:导数的几何意义

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y?考点三:导数的几何意义的应用

例3.已知曲线C:y?x3?3x2?2x,直线l:y?kx,且直线l与曲线C相切于点?x0,y0??x0?0?,求直线l的方程及切点坐标.考点四:函数的单调性

例4.设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值. (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;

(2)若对于任意的x??0,3?,都有f(x)<c成立,求c的取值范围.

2

考点五:函数的最值

2//

例5.已知a为实数,f(x)?(x?4)(x?a).(1)求导数f(x);(2)若f(?1)?0,求f(x)在区间??2,2?上的最值.

考点六:导数的综合性问题

例6. 设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)为奇函数,其图象在点?1,f(1)?处的切线与直线

3

x?6y?7?0垂直,导函数f/(x)|min??12.(1)求a,b,c的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在??1,3?上的最大值和最小值.

?1?332

例7.已知f(x)?ax?bx?cx在区间?0,1?上是增函数,在区间???,0?,?1,???上是减函数,又f????.

22??(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m?0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.

2

例8.设函数f(x)??x(x?a)(x?R),其中a?R.(Ⅰ)当a?1时,求曲线y?f(x)在点

(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)当a?0时,求函数f(x)的极大值和极小值;

(Ⅲ)当a?3时,证明存在k???10 ,?,使得不等式f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的x?R恒成立.例9.已知f(x)?ax3?x2?bx?c(a,b,c?R)在???,0?上是增函数,?0,3?上是减函数,方程f(x)?0有三个实根,它们分别是?,2,?.(1)求b的值,并求实数a的取值范围;(2)求证:???≥.

三、 方法总结 (一)方法总结

导数是中学限选内容中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的对象.要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握求导数的方法.应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型,了解导数概念的实际背景.应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述. (二)高考预测

导数的考查方式以客观题为主,主要考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义.也可以解答题的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.导数的应用是重点,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题. 四、强化训练

52

1x2

1.已知曲线y?的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( A )

24

A.1

B.2

C.3

D.4

2.函数f(x)?x3?ax2?3x?9,已知f(x)在x??3时取得极值,则a?( D )

(A)2

2

(B)3 (C)4 (D)5

3.函数f(x)?2x?

13

x在区间?0,6?上的最大值是( A ) 3

32A.3

3

16B.3

C.12

D.9

4.三次函数y?ax?x在x????,???内是增函数,则 (A)

A. a?0

B.a?0C.a?1

D.a?

1 3

5.在函数y?x3?8x的图象上,其切线的倾斜角小于

?

的点中,坐标为整数的点的个数是( D) 4

D.0

A.3 B.2 C.1

32

6.已知函数f(x)?x?ax?bx?c,当x??1时,取得极大值7;当x??1时,取得极小值.求这

个极小值及a,b,c的值.

7.设函数f(x)?x?bx?cx(x?R).已知g(x)?f(x)?f(x)是奇函数. (1)求b,c的值;(2)求g(x)的单调区间与极值.

3

2

/

8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

9.已知函数f?x??x3?3ax?1,g?x??f?x??ax?5,其中f'?x?是的导函数. (I)对满足?1?a?1的一切a的值,都有g?x??0,求实数x的取值范围;

(II)设a??m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共点. 10.设函数f(x)?tx2?2t2x?t?1(x?R,t?0).(I)求f(x)的最小值h(t); (II)若h(t)??2t?m对t?(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.

x3

?(a?1)x2?4ax?b(a,b?R). 11.设函数f(x)?3

(I)若函数f(x)在x?3处取得极小值

1

,求a,b的值;(II)求函数f(x)的单调递增区间; 2

(III) 若函数f(x)在(?1,1)上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.

12.已知二次函数f(x)?ax2?bx?c(a,b,c?R)满足:对任意x?R,都有f(x)≥x,且当x?(1,3)时,有f(x)≤(x?2)成立.(I)试求f(2)的值;(II)若f(?2)?0,求f(x)的表达式; (III)在(II)的条件下,若x??0,???时,f(x)>13.已知函数f(x)?

18

2

m1

x?恒成立,求实数m的取值范围. 24

a31

高三导数专题复习

x?(3a?2)x2?6x,g(x)??ax2?4x?m(a,m?R). 32

(I)当a?1,x??0,3?时,求f(x)的最大值和最小值;

(II)当a<2且a?0时,无论a如何变化,关于x的方程f(x)?g(x)总有三个不同实根,求m的取值范围.

例题参考答案

例1 3;例2 3;例3 y??x,?,??;例4 (1) a??3,b?4,增区间为???,1?,?2,???;减区间为?1,2?, (2) ???,?1???9,???;例5 (1)f/(x)?3x2?2ax?4, (2)f(x)max?f(?1)?

1?33?

4?28?

9450,f(x)min?f()??.; 2327

例6 (1)a?2,b??12,c?0. (2) ??,?2,2,??;f(x)max?f(3)?18,f(x)min?f(2)??8.; 例7解:(Ⅰ)f?(x)?3ax2?2bx?c,由已知f?(0)?f?(1)?0,

??

?c?0,

?c?0,?即?解得?3 ?3a?2b?c?0,?b??a.

?2

?1?3a3a3

?f?(x)?3ax2?3ax,?f??????,?a??2,?f(x)??2x3?3x2.

?2?422

(Ⅱ)令f(x)≤x,即?2x?3x?x≤0,?x(2x?1)(x?1)≥0,?0≤x≤又f(x)≤x在区间?0,m?上恒成立,?0?m≤

3

2

1

或x≥1. 2

1. 2

例8解:(Ⅰ)当a?1时,f(x)??x(x?1)2??x3?2x2?x,得f(2)??2,且

f?(x)??3x2?4x?1,f?(2)??5.

?2)处的切线方程是y?2??5(x?2),整理得5x?y?8?0. 所以,曲线y??x(x?1)在点(2,

(Ⅱ)解:f(x)??x(x?a)??x?2ax?ax,f?(x)??3x?4ax?a??(3x?a)(x?a). 令f?(x)?0,解得x?

2

3

2

2

2

2

2

a

或x?a. 3

由于a?0,以下分两种情况讨论.

(1)若a?0,当x变化时,f?(x)的正负如下表:

a

处取得极小值3

4?a?

f????a3;

27?3?

因此,函数f(x)在x?

?a?

f??,且?3?

函数f(x)在x?a处取得极大值f(a),且f(a)?0. (2)若a?0,当x变化时,f?(x)的正负如下表:

因此,函数f(x)在x?a处取得极小值f(a),且f(a)?0;

函数f(x)在x?

a

处取得极大值3

?a?f??,且?3?4?a?

f????a3.

27?3?

(Ⅲ)证明:由a?3,得

a22

?1,当k???10时,k?cosx≤1,k?cosx≤1. ,?3

由(Ⅱ)知,f(x)在??∞,1?上是减函数,要使f(k?cosx)≥f(k2?cos2x),x?R 只要k?cosx≤k?cosx(x?R) 即cosx?cosx≤k?k(x?R) ①

2

2

2

2

1?1?

设g(x)?cosx?cosx??cosx???,则函数g(x)在R上的最大值为2.

2?4?

2

2

要使①式恒成立,必须k?k≥2,即k≥2或k≤?1.

所以,在区间??10,?上存在k??1,使得f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的x?R恒成立. 例9解:(1)?f(x)?3ax?2x?b,f(x)在???,0?上是增函数,在?0,3?上是减函数,

/

2

2

所以当x?0时,f(x)取得极小值,

?f/(0)?0,?b?0.?f(2)?0,?8a?4?c?0.

又方程f(x)?0有三 实根,?a?0.?f/(x)?3ax2?2x?b?0的两根分别为x1?0,x2?

2

. 3a

又f(x)在???,0?上是增函数,在?0,3?上是减函数,?f/(x)>0在???,0?上恒成立,f/(x)<0在?0,3?上恒成立.

由二次函数的性质知,a>0且

22?2?

≥3,?0<a≤. 故实数a的取值范围为?0,?. 3a9?9?

(2) ??,2,?是方程f(x)?0的三个实根,

则可设f(x)?a(x??)(x?2)(x??)?ax?a(2????)x?a(2??2????)x?2a??.

3

2