北京市中学生初中数学竞赛
篇一：2014年北京市中学生数学竞赛(初二)
2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题
一、选择题（每小题5分，共25分）
a4?a2b2?b4
?3ab=（ ） 1.若a?b?，则2
2
a?ab?b
A．5B.
355 C. 2D. 22
2.已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A的小正六边形的顶点. 则
A
=（ ） S
1123A． B. C. D.
4322
3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）
A．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998
1
在平面直角坐标系xOy的x
75
第一象限上图象的两点，满足y1?y2?，x2?x1?. 则S?AOB?（ ）
23
10111213A．2 B. 2 C. 2D. 2
11121314
4.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y?
5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A．1 004B. 1 005 C. 1 006D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分）
1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2.
[2013]?[2014]?[2015]?[2016]
[2014]?[2015]
?（[x]表示不超过实
数x的最大整数）.
3.在四边形ABCD中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M的“好数”.则M的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为a1，a2，…，a8.则
a1?a2+a2?a3+a3?a4+a4?a5+a5?a6+a6?a7+a7?a8+a8?a1的最大值为 .
三、（10分）已知a2(b?c)?b2(c?a)?c2(a?b)?0.证明：a，b，c三个数中至少有两个相等.
四、（15分）在凸四边形ABCD中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC平分∠BCD.
五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？
参考答案
一、选择题（每小题5分，共25分）
5.设2 015个整数为x1，x2，…，x2015.记x1+x2+…+x2015=M.不妨设M-xi=i（i=1，2，…，2014），M-x2015=A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当xi=1008-i（i=1，2，…，2014），x2015=1时取到. 二、填空题（每小题7分，共35分）
4.M=23?32?5?7?11?13，则M的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即5.由题意记
S=a1?a2+a2?a3+a3?a4+a4?a5+a5?a6+a6?a7+a7?a8+a8?a1. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如8?4+4?7+7?+?5+5?2+2?6+6?3+3?8=32. 三、由左边进行因式分解得到(a?b)(b?c)(a?c)?0即可.
四、提示：作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE.则△ABE为正三角形，下面证明E、D、C三点共线即可.可设∠DBE=?，可得到∠EDA=30°. 五、设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为
MMMM
、、、. 231113
1?x1?x2???xn?1?xn?2014. 依题意知Sk?
x1?x2??xn?xk
(k?1,2,?,n)?Z?.
n?1
对任意i,j(1?i?j?n)均有Si?Sj?
xj?xin?1
?Z?.
于是，xj?xi?n?1.
故xn?x1?(xn?xn?1)?(xn?1?xn?2)???(x2?x1)?(n?1)2
?(n?1)2?xn?x1?2013?n?45. 由于
2014?1
为整数，从而，n?1为2013的约数. n?1
注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，n的最大值为34，即参赛选手最多有34名.
这样的34名选手的号码是可以实现的.如xi?33i?32(i?1,2,?,33),x34?2014. 因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.
篇二：北京市初中数学竞赛试题分类解析
北京市初中历年竞赛试题分类解析
（一）绝对值
【竞赛热点】
1、 利用绝对值的几何意义求代数式的取值范围
2、 利用绝对值的非负性解特殊方程
3、 利用绝对值的定义去绝对值符号
【知识梳理】
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：
?a(a?0)?1．去绝对值的符号法则：a??0(a?0)
??a(a?0)?
2．绝对值基本性质 ①非负性：a?0；②?a?b；③
3．绝对值的几何意义
从数轴上看，a表示数a的点到原点的距离(长度，非负)；a?b表示数a、数b的两点间的距离． aa2?(b?0)；④a?a2?a2． bb
【试题汇编】
1、代数意义
1、（2010?第2题）已知：三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x?abcabacbc，则x的值为（ ） ?????abcabacbc
A．1B．－1C．0 D．与a，b，c的值有关
2、（2008?第9题）若?(x?1)2?x，则x的取值范围是_____________。
3、（2007?第1题）已知|a|＝3，|b|＝,且ab<0，则
A. 9B. ?
13a的值是（ ） b11C.－9 D. 99
4、（2007?第11题）已知实数a满足|2006－a|+a?2007＝a，那么a－20062的值是 ；
5、（2007?第13题）已知对所有的实数x，都有x??
的最大值为
6、（2005?第2题）方程x?5?3x?7?1的解的个数有（ ）个
A. 1B . 2 C. 3 D.无数
7、（2004?第9题）已知x?4?(y?1)?0，则x3y2006＝________________。
8、（2004?第10题）当a?0时，化简
2x?1?m?x?2恒成立，则m可以取得a?aa的结果是________________。
2、几何意义：
1、（2008?第1题）已知数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别是a、b、c，且满足a?b?b?c?a?c，则A、B、C三点在数轴上的位置是（ ）
A. A在B、C之间 B. B在A、C之间
C. C在A、B之间 D. 无法确定
2、（2006?第9题）若实数x满足x?2?x?7?5，则x的取值范围是____________。
3、（2001?第11题）设a?x?3?x，x为任意实数，则a的范围是（ ）
A. a?3 B. a?3 C. a?3D . a?3
（二）不等式（组）
【竞赛热点】
1、 含有字母系数的不等式
2、 由已知不等式来判断或解不等式
3、 建立不等式的模型，或利用不等式解决实际问题
【知识梳理】
现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系，许多现实问题是很难确定(有时也不需确定)具体的数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识．
不等式(组)是探求不等关系的基本工具，不等式(组)与方程(组)在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在：
等式、不等式两者都乘以(或除以)同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；
解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代人”或“加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集。一般考察如下内容：
1、 考查不等式的性质：不等号的是否改变方向
2、 重点考查学生的技巧，如代值，或变成同分母或同分子的情形
不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题。
列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：
1、弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；
2、找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；
3、列出不等式(组)；
4、解这个不等式(组)，求出解集并作答。
【试题汇编】
1、（2009?第2题）设a、b、c均为正数，若
是（）
A . c<a<b B. b<c<a C. a<b<c D. c<b<a
2、（2009?初二第10题）如果关于x的不等式组?cab??，则a、b、c三个数的大小关系a?bb?ca?c?3x?m?0的整数解仅为1、2、3，那么适合这个
?2x?n?0
不等式组的整数对（m，n）共有___________对。
3、（2008?第11题）一次函数f(x)?(a?b)x?(a?b),g(x)?ax?b(a?b且a?0)，若使
1，则使g(x)?0的实数x的取值范围是________。 2f(x)?0的实数的取值范围是x?
4、（2008?第2题）若a为正数，且(a?1)比2a大，则a的取值范围是（ ） A. 0?a?
231111 B. 0?a? C. 0?a? D. 0?a? 2345
5、（2006?第1题）已知a?2,b??3,c?5，且a?b?c?10,则a?b?c?（ ）
A . 10B. 8 C. 6D. 4
6、（2006?第8题）若x、y、z是正实数，且xyz＝1，则代数式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值是（ ）
A. 64B. 8C. 82 D.
7、（2010?初二第15题）关于x，y的方程组：?
的取值范围。
8、（2010?初二第17题）某粮油公司要把240吨大米运往A、B两地，先用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批大米，且每辆车都是满载，已知这两种货车的满载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往A地的运费为：大车630元/辆，小车420元/辆；运往B地的运费为：大车750元/辆，小车550元/辆．
（1）求两种货车各用多少辆；
（2）如果安排10辆货车前往A地，其余货车前往B地，且运往A地的大米不少于115吨．请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
2 ?2x?y?k?1?2x?y?3的解x，y满足：?，求kx?2y?3k?2x?y?17??
篇三：2013年北京市中学生数学竞赛 高一组
2013 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答
选择题答案 1 D
2 B
3 B
4 A
5 C
6 A
填空题答案
11
2
3 4
4 128
5 11
6
7
8
2m 2 n 2 (m + n) 2
2
1 ?19
1024
6 {1979, 1985, 1991, 2003} 3
一、选择题（满分 36 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号 填入第 1 页指定地方，答对得 6 分，答错或不答均计 0 分） 1．已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 3, 4, 5, 6}，则集合
C={(a, b)|a∈A, b∈B, 且关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实根} 的元素个数为
y（A）7．（B）8． （C）9． （D）10． ?解 当 a＞0，b＞0 时，x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为6a≥b.y=x
5? 而D设集合 D={(a, b)|a∈A, b∈B}， 的元素个数为 5×5=25 个， C 是 D 的子集，· 因此，
集合 C 的元素如下面的整点图中的黑点所示：4?
·· 因此, C 的元素个数等于 10．
2? 3?
2．已知 24 ? a ? 8 ? a = 2 ，则 24 ? a + 8 ? a 等于
1?···
（A）7． （B）8． （C）9． （D）10．
2 2
( 24 ? a )(? 8?a ) 24 ? 8
解 24 ? a + 8 ? a = = = 8． 24 ? a ? 8 ? a
2
3．如图所示，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 O，3k + 1
y y=
x3k + 1
····
? ?? ?? 1 2 3 4 5
x
矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 y =的HCBx
图像上，若 A 点的坐标为(?2, ?2)，则 k 等于 OxFG （A）2．（B）1． （C）0． （D）?1．AD
E解 因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以 矩形 CHOG 的面积 = 矩形 OFAE 的面积 = |?2|×|?2|= 4．
4．定义在 R 上的偶函数 f (x)，满足 f (x+1)=?f (x)，且在区间[?1, 0]上递增，则 即 3k+1=OG×GC= 4，因此 k =1．
（A） f (3) < f ( 3) < f (2) ． （B） f (2) < f (3) < f ( 3) ．
（C） f (3) < f (2) < f ( 3) ． （D） f (2) < f ( 3) < f (3) ．
解 根据题意 f (x)=?f (x+1) =?[?f (x+2)]= f (x+2)，因为 f (x)是偶函数， f (a)= f (?a)，即 则 f (3) = f (1) = f (?1) ， f (2) = f (0) ， f ( 3) = f (? 3) = f (2 ? 3) = f ( 3 ? 2) ． 而 ?1＜ 3 ?2＜0，f (x)在区间[?1, 0]上递增， 所以 f (3) < f ( 3) < f (2) ．
5．由 1 开始的连续 n 个正整数相乘，简记为 n!=1×2×…×n， 如 3!=1×2×3=6，1234567 10!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800 等等，则 + + + + + + 等于2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 71950394031940321
（A）．（B）．（C）．（D）． 72050404032040320 n ?1 n 111 解 因为=?=? ，所以 1234567 n ! n ! n ! (n ? 1)! n ! ++++++
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!
?2 1? ?3 1? ?4 1? ?5 1? ?6 1? ?7 1? ?8 1? = ? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?
? 2! 2! ? ? 3! 3! ? ? 4! 4! ? ? 5! 5! ? ? 6! 6! ? ? 7! 7! ? ? 8! 8! ? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1??
= ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ?
? 2! ? ? 2! 3! ? ? 3! 4! ? ? 4! 5! ? ? 5! 6! ? ? 6! 7! ? ? 7! 8! ?1140319 = 1? = 1?=．
8!40320 40320
?
6．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，P 为劣弧 CD 上一点，PAP 交 BD 于点 M，PB 交 AC 于点 N，记∠PAC=θ，若 MN⊥PA，则 D M2cos2θ?tanθ的值等于
C N O
B
122 （A）1． （B）
． （C） ． （D）．θ224
解 A ∴ ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∵ ∠ACB=45o，DB⊥AC， ∴ ∠APB=∠ACB=45o， ∵ MN⊥PA，∴ ∠MNP=∠APB=45o，∴ MP=MN． ∴ AC 为圆的直径，∴∠APC=90o，∴P、M、O、C 四点共圆． AM·AP= AO·AC．因此
2AO 2 MN 2 ? AO 2 ? AM ? MN
2cos θ?tanθ = 2 ??=
AM 2 AMAM 2
AO ? AC ? AM ? MN AM ? AP ? AM ? MN ==
AM 2AM 2 AP ? MN AP ? PM ===1．
AMAM
二、填空题（满分 64 分，每小题 8 分，请将答案填入第 1 页指定地方） 1．求
sin 2 30? + sin 2 35? + sin2 40? + sin2 45? + sin2 50? + sin2 55? + sin2 60?tan 36? × tan3 39? × tan5 42? × tan7 45? × tan5 48? × tan3 51? × tan 54?
的值．
1
， 2
n 为正整数时，tannα×tann(90o?α)= tannα×cotnα=(tanα×cotα)n=1，tan45o=1， 解 注意到 sin2α+sin2(90o?α)= sin2α+cos2α=1，sin245o=
则
sin 2 30? + sin 2 35? + sin 2 40? + sin 2 45? + sin 2 50? + sin 2 55? + sin 2 60? = 3.5 ．tan 36? × tan 3 39? × tan 5 42? × tan 7 45? × tan 5 48? × tan 3 51? × tan 54?
2．f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f (x)=2 x +2x+b (b 为常数)，求 f (?10)
的值．
解 因为 f(x)为定义在 R 上的 奇函 数，所以 f(0)=0，即 2 0 +2×0+b=0，得 b=?1． 由奇函数的性质 f (?x)=?f (x)，有
若 x＜0，即?x＞0，则?f (x)= f (?x)=2?x?2x?1， 即 f (x)= ?2?x+2x+1 (x＜0)． 所以 f (?10)= ?2?10?2×10+1= ?
11
? 19 = ?19． 10241024
3．若实数 x, y, z 满足方程 x + 9 + x ? 7 + 位数字．
解 易见 x≥7，则
x+ y? z
= 4 ，试确定(5x+3y?3z)2013 的末 4
x+ y?z
≥ 0 ， 又 x, y, z 满 足 方 程 4
x+9+ x?7 ≥4，而
x+ y? zx+ y?z
x+9+ x?7 +=0．= 4 ，所以 x + 9 + x ?
7 = 4，且
所以 x=7，x+y?z=044 ，(5x+3y?3z)2013 =142013，这个数的末位数字为 4．
4．如右图，正方形 ABCD 被分成了面积相等的 8 个三角形， D 如果 AG= 50 ，求正方形 ABCD 面积的值．
解 过 F 作 KL//DC，取 AB 的中点 N，延长 GN 交 AH 于 P， 设正方形 ABCD 的边长为 a，
1
由于△DCI、△ABH 的面积都是正方形 ABCD 面积的 ，所 D 8K 1a
以 CI=BH= BC= ．
由△ADF 的面积=△DCL 的面积的 2 倍，得 E44
A
F G P A
N E
G F
C I H B C
L I H B
1
a. 所以 F 为 DI 中点． 2
易见，E 是 AF 的中点，由△FAG、△FHG 的面积相等，可得 AP=PH，即 FP 为△ 所以 KF=2CI =
11AD × KF = 2 × CD × CI 22
FAH 的一条中线，因此 F、P，N 是一条直线．
同理可证，HG 的延长线必过 AE 的中点 E，所以 HE 为△FAH 的另一条中线，中线
1
FG ． 2
FP 与 HE 的交点 G 为△FAH 的重心， GP =
1
HI + AD 2 a + a 3a
注意 FP 为梯形 AHID 的中位线，FP//BC，所以 FP ===，所以 224 1aa a 3a
GP = FP = ，所以 GN = GP + PN = + =． 3448 8 2 2
a25a 225a 2? a ? ? 3a ?2而 AN= ，根据勾股定理， AG = ? ? + ? ? =有， 50 =即，所以 a2=128． 26464?2? ? 8 ?
5．已知实数 m、n 满足 m?n= 10 ，m2?3n2 为质数．若 m2?3n2 的最大值为 a，最小 值为 b．试确定 a?b 的值．
解 设 m2?3n2=p （p 为质数） 由 m?n= 10 ，得 m= 10 + n，
① ②
把②式代入①式得( 10 + n)2?3n2= p，整理得 2n2?2 10 n+p?10=0， ∴ Δ=40?8p+80≥0，∴ p≤15．
∴ p 的最大值 a=13，最小值 b=2 ， ∴ a?b=11． 6．在△ABC 的边 BC 上有一点 D，∠ADB 是锐 角，P、Q 分别是△ABD、△ACD 的外心，且四边形 3
APDQ 面积是△ABC 面积的 ．求 sin∠ADB 的值． 4
解 连结 PQ，易证△AQP≌△DQP，
S?AQP 3 S?ABC =，
8
S ?AQP ? AQ ? 2
易证：△APQ∽△ABC，所以=， S?ABC ? AC ???
由已知得 所以
AQ3 =． AC 2 2
连结 QC，作 QH⊥AC 于 H，则
1? 1? 1? 1
∠ADB = ∠ACD + ∠CAD =AD + CD = ADC = ∠AQC = ∠AQH ．
所以 sin∠ADB= sin∠AQH=
26
=． 33
2222
7．S(x)表示自然数 x 的数字和，试确定方程 x+S(x)+S(S(x))=2013 的解集．
解 显然 x＜2013， S(x)最大为 28，而S(S(x))最大为 10，因此 x 最小为 2013?38=1975． 因此 1975≤x＜2013，容易试验得
x=2003，S(2003)=5，S(S(2003))=5，2003+5+5=2013； x=1991，S(1991)=20，S(S(1991))=2，1991+20+2=2013； x=1985，S(1985)=23，S(S(1985))=5，1985+23+5=2013； x=1979，S(1979)=26，S(S(1979))=8，1979+26+8=2013．
除此之外的 x 都不满足方程，所以解集是{1979, 1985, 1991, 2003}．
8．直角△ABC 中，内切圆⊙O 切斜边 AB 于 D，切 BC 于 E，切 CA 于 F，作 DK⊥
AC 于 K，DP⊥BC 于 P，已知 AD=m，BD=n，试确定矩形 CKDP 的面积（用 m，n 来表
示）．
解 设内切圆半径为 r，连接 OD，OE，OF，如 图，则 OD=OE=OF= r．
由切线长定理得
B P E C
n D
m
A
? O FK
AD=AF=m，BD=BE=n，CE=CF=r．
设△ABC 的半周长为 p，面积为 S，则 p=r+m+n， (r + m)(r + n )
． 2
即 2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn． 所以 S =
因为 S=rp，代入上式得 S= mn． 因为 DK//BC，所以 △ADK∽△ABC，
m2m2m3 n
所以 S?ADK = S ?ABC ×= mn ×=，
( m + n) 2( m + n) 2 (m + n ) 2 n2n2mn3
同理可得 S?BDP = S?ABC ×= mn ×=，
( m + n) 2( m + n) 2 (m + n ) 2
m3 nmn32m 2 n 2
因此，矩形 CKDP 的面积 = mn ?．?=(m + n) 2 ( m + n) 2 ( m + n) 2
篇四：2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答
2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答
选择题答案
填空题答案
一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号
填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）
1．已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 3, 4, 5, 6}，则集合
C={(a, b)|a?A, b?B, 且关于x
的方程x2+2ax
+b2=0有实根}
的元素个数为
（A）7．
（B）8．
（C）9． （D）10．
解 当a＞0，b＞0时，x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
设集合
D={(a,
b)|a?A
, b?B}，D
的元素个数为5×5=25个，而(来自:www.Hn1c.cOm 唯 才教 育网:北京市中学生初中数学竞赛)C是D的子集，因此，集合C的元素如右面的整点图中的黑点所示： 因此
, C的元素个数等于10． 2?2 （A）7．（B）8． （C）9． （D）10． 解
3．
如图所示，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，3k?1矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y?的x图像上，若A
点的坐标为(?2, ?2)，则k等于
（A）2．（B）1． （C）0． （D）?1．
解 因为矩形的对角线平分矩形的面积，所以
矩形CHOG的面积 = 矩形OFAE的面积 = |?2|×|?2|= 4．
即 3k+1=OG×GC= 4，因此k =1．
?
?2
2
?
24?8
?8． 2
4．定义在R上的偶函数f (x)，满足f (x+1)=?f (x)，且在区间[?1, 0]上递增，则 （A
）f(3)?f?f(2)． （B
）f(2)?f(3)?f． （C
）f(3)?f(2)?f． （D
）f(2)?f?f(3)．
解 根据题意f (x)=?f (x+1) =?[?f (x+2)]= f (x+2)，因为f (x)是偶函数，即f (a)= f (?a)， 则f(3)?f(1)?f(?1)，f(2)?
f(0)，f?f(?f(2?f2)． 而 ?1
2＜0，f (x)在区间[?1, 0]上递增，
所以f(3)?f?f(2)．
5．由1开始的连续n个正整数相乘，简记为n!=1×2×…×n， 如3!=1×2×3=6，
1234567
10!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800等等，则??????等于
2!3!4!5!6!7!8!
71950394031940321
（A）．（B）．（C）．（D）．
72050404032040320n?1n111
????，所以 解 因为n!n!n!(n?1)!n!
1234567?????? 2!3!4!5!6!7!8!
?21??31??41??51??61??71??81??????????????????????????????2!2!??3!3!??4!4!??5!5!??6!6!??7!7!??8!8!?
1??11??11??11??11??11??11??
??1?????????????????????????? ?2!??2!3!??3!4!??4!5!??5!6!??6!7!??7!8!??1?
1140319?1??． 8!4032040320
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧CD上一点，PA
交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PAC=θ，若MN⊥PA，则2cos2θ?tanθ的值等于 （A）1． （B
1． （C）． （D
． 2解 ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ACB=45o，DB⊥AC， ∴ ∠APB=∠ACB=45o， ∵ MN⊥PA，∴ ∠MNP=∠APB=45o，∴ MP=MN．
∵ AC为圆的直径，∴∠APC=90o，∴P、M、O、C四点共圆．
∴ AM·AP= AO·AC．因此
AO2MN2?AO2?AM?MN
??2cosθ ? tanθ ?2? 22
AMAMAM
AO?AC?AM?MNAM?AP?AM?MN?? 22
AMAM
AP?MNAP?PM???1．
AMAM
2
二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方） 1．求
sin230?sin235?sin240?sin245?sin250?sin255?sin260
35753
tan36?tan39?tan42?tan45?tan48?tan51?tan54
的值．
1
解 注意到sin2α+sin2(90o?α)= sin2α+cos2α=1，sin245o=，
2
n为正整数时，tannα×tann(90o?α)= tannα×cotnα=(tanα×cotα)n=1，tan45o=1，
2sin30?则
tan36?
s2in?35t3an?39
25
sin?402
7
tan?42si?n425
5
ta?n45?sin250?si2n55sin60
?3.5．
?tan348?tan51tan54
2．f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)=2x+2x+b (b为常数)，求f (?10)的值．
解 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即20+2×0+b=0，得b=?1．由奇函数的性质f (?x)=?f (x)，有
若x＜0，即?x＞0，则?f (x)= f (?x)=2?x?2x?1， 即f (x)= ?2?x+2x+1 (x＜0)． 所以f (?10)= ?210?2×10+1= ?1043．
3．若实数x, y, z
位数字．
解 易见x≥7
，则
x?y?4
≥4，而
x?y?z4
?4，试确定(5x+3y?3z)2013的末
x?y?≥0，又x, y, z
满足方程4
x?y?z
=0． 4
?
4，且
所以 x=7，x+y?z=0，(5x+3y?3z)2013 =142013，这个数的末位数字为4．
4．如右图，正方形ABCD被分成了面积相等的8个三角形，如果AG
ABCD面积的值．
解 过F作KL//DC，取AB的中点N，延长GN交AH于P， 设正方形ABCD的边长为a，
1
由于△DCI、△ABH的面积都是正方形ABCD面积的，所8K
N
H B
H B C
L I
C I
以CI=BH=
1aBC=． 44
由△ADF的面积=△DCL的面积的2倍，得
11
AD?KF?2?CD?CI 22
所以KF=2CI?
1
a.所以F为DI中点． 2
易见，E是AF的中点，由△FAG、△FHG的面积相等，可得AP=PH，即FP为△FAH的一条中线，因此F、P，N是一条直线．
同理可证，HG的延长线必过AE的中点E，所以HE为△FAH的另一条中线，中线FP与HE的交点G为△FAH的重心，GP?
1
FG． 2
1
a?a
HI?AD3a
注意FP为梯形AHID的中位线，FP//BC，所以 FP???，所以
224
1aaa3aGP?FP?，所以GN?GP?PN???．
34488
2
a25a2?a??3a?25a2
而AN=，根据勾股定理，有AG???????，即50?，所以a2=128．
26464?2??8?
2
2
5．已知实数m、n满足m?n
m2?3n2为质数．若m2?3n2的最大值为a，最小值为b．试确定a?b的值．
解 设m2?3n2=p （p为质数） ① 由m?n
m
= n， ②
把②式代入①式得
n)2?3n2= p，整理得2n2?
+p?10=0， ∴ Δ=40?8p+80≥0，∴ p≤15．
∴ p的最大值a=13，最小值b=2 ， ∴ a?b=11．
6．在△ABC的边BC上有一点D，∠ADB是锐角，P、Q分别是△ABD、△ACD的外心，且四边形APDQ面积是△ABC面积的
3
．求sin∠ADB的值． 4
解 连结PQ，易证△AQP≌△DQP， 由已知得
S?AQPS?ABC
3?， 8
S?AQPS?ABC
?AQ????，AC??
2
易证：△APQ∽△ABC，所以所以
AQ． ?
AC
连结QC，作QH⊥AC于H，则
?ADB??ACD??CAD?
1111
AD?CD?ADC??AQC??AQH． 2222
所以 sin∠ADB= sin∠AQH=
?7．S(x)表示自然数x的数字和，试确定方程x+S(x)+S(S(x))=2013的解集． 解 显然x＜2013，而S(x)最大为28，S(S(x))最大为10，因此x最小为2013?38=1975．因此1975≤x＜2013，容易试验得
x=2003，S(2003)=5，S(S(2003))=5，2003+5+5=2013； x=1991，S(1991)=20，S(S(1991))=2，1991+20+2=2013； x=1985，S(1985)=23，S(S(1985))=5，1985+23+5=2013； x=1979，S(1979)=26，S(S(1979))=8，1979+26+8=2013． 除此之外的x都不满足方程，所以解集是{1979, 1985, 1991, 2003}．
8．直角△ABC中，内切圆⊙O切斜边AB于D，切BC于E，切CA于F，作DK⊥AC于K，DP⊥BC于P，已知AD=m，BD=n，试确定矩形CKDP的面积（用m，n来表示）．
解 设内切圆半径为r，连接OD，OE，OF，如图，则OD=OE=OF= r．
由切线长定理得
AD=AF=m，BD=BE=n，CE=CF=r．
设△ABC的半周长为p，面积为S，则p=r+m+n，所以 S?
(r?m)(r?n)
．
2
即 2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn． 因为S=rp，代入上式得 S= mn． 因为DK//BC，所以 △ADK∽△ABC，
所以 S?ADK
m2m2m3n
， ?S?ABC??mn??222
(m?n)(m?n)(m?n)
同理可得S?BDP
n2n2mn3
， ?S?ABC??mn??222
(m?n)(m?n)(m?n)
m3nmn32m2n2
因此，矩形CKDP的面积 = mn?．
??
(m?n)2(m?n)2(m?n)2
篇五：2011年北京市初二数学竞赛试卷
2011年北京市初二数学竞赛试卷
? 2012 菁优网
一、选择题（每题5分，共25分）
1、满足x2﹣4y2=2011的整数对（x，y）的组数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
2、右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，请在图中第八行所有○中填好应填的数字，则这前8行36个数的和等于（
）
A、257 C、255B、256 D、254
3、四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=80°，AD=AB=BC，CH⊥AB于H．连接DH，则∠CHD的度数为（ ）
A、30° C、40° B、35° D、45°
的结果是4
、化简
（ ）
A、1 B、
C、 D、
5、如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（
）
A、C、 B、D、
二、填空题（每题7分，共35分）
6、已知a，b，c是非零有理数，且满足等于 _________ ．
7、已知AD是△ABC的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB=度．
8、关于x、y的方程的正整数解（x，y）共有 ，则
9、两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如右图，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若，则AB的长是 _________ ．
10、连续的n个自然数，在每个数写成标准的质因数乘积分解式后，每个质因数都是奇数次幂，这样的n个连续的自然数称为一个“连n奇异组”，如n=3时，22=21×111，23=231，24=23×31，则22，23，24就是一个“连3奇异组”．那么“连n奇异组”中n的最大可能值是 _________ ．
三、（满分10分）
11、在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P为∠ABC的平分线与∠ACB的平分线的交点，求证：AB=PC
．
四、（满分15分）
12、关于m和n的方程5m﹣6mn+7n=2011是否存在整数解？如果存在，请写出一组解来；如果不存在，请说明理由．
五、（满分15分）
13、如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现
拟在22
货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、
DP以及PH之长度和为l．
（1）求l的最小值．
（2）请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置．
答案与评分标准
一、选择题（每题5分，共25分）
1、满足x2﹣4y2=2011的整数对（x，y）的组数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：数的整除性问题。
分析：由平方差公式可知x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），（x+2y）与 （x﹣2y）同为奇数或者偶数，将2011分为两个奇数的积，分别解方程组即可．
解答：解：∵2011=1×2011=（﹣1）×（﹣2011），
∴（x+2y），（x﹣2y）分别可取下列数对
（1，2011），（2011，1），（﹣1，﹣2011），（﹣2011，﹣1），
∴，
解得：不合题意舍去，
∴，
解得：不合题意舍去，
∴，
解得：不合题意舍去，
∴，
解得：
不合题意舍去，
由此可得方程有0组整数解．
故选：A．
点评：此题考查了平方差公式的实际运用，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同．
2、右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，请在图中第八行所有○中填好应填的数字，则这前8行36个数的和等于（
）
C、255 D、254
考点：规律型：数字的变化类。
专题：规律型。
分析：根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和，据此求解．
解答：解：通过观察得到：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和， 1+6=7，6+15=21，15+20=35，
所以图中第八行所有○中填好应填的数字分别是，1，7，21，35，35，21，7，1，
通过观察得到：第一行为和为1．第二行为2，第三行为4，…，每行都是前一行的2倍，
所以这前8行36个数的和为：1+2+4+8+16+32+64+128=255．
故选：C．
点评：此题主要是熟悉杨辉三角的规律：每一行的第一个数和最后一个数都是1，之间的数总是上一行对应的两个数的和．通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
3、四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=80°，AD=AB=BC，CH⊥AB于H．连接DH，则∠CHD的度数为（ ）
A、30° C、40° B、35° D、45°
考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线。
专题：计算题。
分析：首先作出图形，过点D作DE平行于AB交BC于点E，连接DH，根据四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，证明四边形ABED是菱形，即可得到DE=EC，再根据题干条件得到∠EDC=∠ECD，最后根据AD=AB=BC，可得点E是BC的中点，得到DE平分CH，又∵DE平行于AB，所以DE垂直于CH，也就是DE垂直平分CH，于是得到∠CHD=∠DCH=40°． 解答：解：作出图形，过点D作DE平行于AB交BC于点E，
∵四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，
∴四边形ABED是菱形，
∴DE=EC，
∵∠ABC=80°，
∴∠DEC=80°，
∴∠EDC=∠ECD=50°，
∵CH⊥AB于H，
∴∠BCH=10°，从而得到∠DCH=40°， 根据AD=AB=BC，可得点E是BC的中点，
∴DE平分CH，
又∵DE平行于AB，
所以DE垂直于CH，也就是DE垂直平分CH，
∴∠CHD=∠DCH=40°．
故选C
．
点评：本题主要考查平行四边形和等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线的知识点，解答本题的关键是求出DE=CE，此题难度一般．
4
、化简的结果是