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初中数学勾股定理

时间:2016-04-12 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:初中数学勾股定理单元检测试题及答案

第一章《勾股定理》单元检测测试(含答案)

一、选择题(每小题4分,共40分)

1、在△ABC中,∠C=90°,BC=2,AB=3,则边AC的长是( )

A、 B、3C、D、

2、如图1,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC,则AC边上的高是( ) C

32

A

B

C

B

A

图1

55

35

图2

45

A、2 B、10 C、5D、5 3、如果△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,那么这个三角形是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、等腰三角形 4、把直角三角形两直角边同时扩大到原来的3倍,则斜边扩大到原来的( ) A、2倍 B、3倍 C、4倍 D、5倍

5、对于任意两个正整数m、n(m>n),下列各组三个数为勾股数的一组是( ) A、m2+mn,m2-1,2mn B、m2-n2,2mn,m2+n2 C、m+n,m-n,2mn D、n2-1,n2+mn,2mn 6、如图2,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是( ) A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对

1

A

图3

7、如图3,一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,则离开港口2h后,两船相距( ) A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里 8、下列叙述中,正确的是()

A、直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方

B、如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 C、△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若a2+b2=c2,则∠A=90° D、如果△ABC是直角三角形,且∠C=90°,那么c2=b2-a2

9、CD是Rt△ABC斜边AB上的高,若AB=2,AC:BC=3:1,则CD为( ) A、5 B、5C、5 D、5

10、如图4,矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF全等,点B、C、D在同一直线上,∠APE的顶点在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3

E B′

M

P

B

C

D

图4

C

图5

二、填空题(每小题3分,共30分)

11、如图5,将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置,次开发 已知斜边AB=10cm,BC=6cm,设A′B′的中点是M,连结AM,则AM= cm. 12、如图6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是 .

1

A

C

M

A

2

l

B

图6

B

F

D

图7

2

C

篇二:初中数学勾股定理练习题

1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm,则另一条直角边的长是( )

A. 4cmB. 4cm C. 6cm D. 6cm

2.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为()

A.42 B.32C.42 或 32 D.37 或 33

3.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动( )

A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米

1、如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是( )

A、2,3,4 B、3,4,5 C、6,8,10 D、34,,1 55

2、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( )

A、1倍 B、

初中数学勾股定理

2倍C、3倍 D、4倍

3、下列说法中正确的是( )

A、已知a,b,c是三角形的三边,则a?b?c

B、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C、在Rt?ABC中,?C?90,所以a2?b2?c2

D、在Rt?ABC中,?B?90,所以a2?b2?c2

2224、下列四组数:①5,12,13;②7,24,25;③3a,4a,5a(a>0);④3,4,5。其中可以

构成直角三

角形的边长有( )

A、1组B、2组C、3组D、4组

5、在Rt?ABC中,?ACB?90,AC=5cm,BC=12 cm,其中斜边上的高为( )

A、6 cmB、8.5 cm C、???2226030 cmD、cm 1313

8. 等腰△ABC的腰长AB=10cm,底BC为16cm,则底边上的高为,面积为.

9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 .

10.一天,小明买了一张底面是边长为260cm的正方形,厚30cm的床垫回家.到了家门口,才发现门口只有242cm高,宽100cm.你认为小明能拿进屋吗? .

12.如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每

平方米18

元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?

16. 如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,则AC等于

______________. 5m

18. 如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2.

21. 如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千

米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B

两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的

位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?

B L

第21题图

25.(14分)△ABC中,BC?a,AC?b,AB?c,若∠C=90°,如图(1),根据勾股定理,则a?b?c,若△ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3),请你类比勾股定理,试猜想a?b与c的关系,并证明你的结论

. 222222

5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

16、如图,在△ABC中,∠B=90?,AB=BC=6,把△ABC进行折叠,使点A与点D重合,BD:DC=1:2,折痕为EF,点E在AB上,点F在AC上,求EC的长。

D C

篇三:初中数学勾股定理复习

勾股定理复习

一、复习要求:

1.体验勾股定理的探索过程;已知直角三角形的两边长,会求第三边长。

2.会用勾股定理知识解决简单问题;会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决有关的实际问题。

二、知识网络:

三、知识梳理:

1、勾股定理

(1)重视勾股定理的三种叙述形式:

①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》).②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.

③直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和.

从这三种提法的意义来看,勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)定理的作用:

①已知直角三角形的两边,求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为的线段。

勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为,,??的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来,进一步反

映了数与形的互相表示、相互交融,加深对无理数概念的直观认识。

(3)勾股定理的证明:

经典证法有:①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明;除此之外,还有文字证明、拼

图证明和动态证明。

(4)勾股定理的应用:

勾股定理只适用于直角三角形,首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时,可作辅助线,构造直角三角形后,再运用勾股定理解决问题。求线段的长度,常常综合运用

勾股定理和直角三角形的其它性质,等腰三角形的性质,轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的证明方法,也是学生不熟悉的,引导学生用所学过的全等三角

形的知识,通过

构造一个三角形与直角三角形全等,达到证明的目的。

(2)逆定理的作用:判定一个三角形是否为直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述

及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤:

①首先确定最大的边(如c)

②验证: 若

当与是否具有相等关系: ,则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 时,△ABC是锐角三角形; 时,△ABC是钝角三角形。

(4)通过总结归纳,记住一些常用的勾股数。如:3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,

15,17;9,

40,4l;??以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律:

丢番图发现的:式子 毕达哥拉斯发现的: 柏拉图发现的:,,,,,,(((的整数) 的正整数) 的整数)

3、注意总结直角三角形的性质与判定。

(1)直角三角形的性质:

角的关系:直角三角形两锐角互余。

边的关系:直角三角形斜边大于直角边。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系:直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

双垂图中的线段关系。

(2)直角三角形的判定:

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外

两边的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的两边长,会求第三边长。

设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c,由勾股定理知道:

得:,,,,。变形,因此已

知直角三角形的任意两边,利用勾股定理可求出第三条边。

5、当直角三角形中含有30°与45°角时,已知一边,会求其它的边。

(1)含有30°的直角三角形的三边的比为:1::2。(一个三角形的三个内角的比为

1:2:3,则三边

的比为1::2)

。(2)含有45°的直角三角形的三边的比为:1:1:

(3)等边三角形的边长为,则高为,面积为。

6、典型方法的总结:

(1)斜三角形转化为直角三角形

(2)图形的割、补、拼接

(3)面积法与代数方法证明几何问题

四、例题分析

1.如图,把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠

,D=30°,斜边AB=6cm,DC=7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△

如图乙.这时AB

与相交于点O,与AB相交于点F.

(1)求

(2)求线段

(3)若把三角板的度数: 的长. ,这时点B

在的绕着点C顺时针再旋转30°得

内部、外部、还是边上?证明你的判断.

解:(1)∵ ∠2=15°,∠=90°,

∴ ∠1=75°.又∵ ∠B=45°,

.

(2)连结.

,

,, , ∵

又∵

又∵

又∵

在, ∴

中,

(3)点B在,∴

。 。 。 内部。

于点

, , 理由如下:设BC(或延长线)交∵

在中,

又∵

,即,∴ 点B在内部。 2.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠

PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.

解:(1)猜想:AP=CQ

证明:在△ABP与△CBQ中,

∵ AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°

∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

(2)由PA:PB:PC=3:4:5 可设PA=3a,PB=4a,PC=5a

连结PQ,在△PBQ中,由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°

∴ △PBQ为正三角形 ∴ PQ=4a

于是在△PQC中,∵

∴ △PQC是直角三角形

3.如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒,现将其剪开展成平面图,如图(2)所

示.已知展开图中每个正方形的边长为1.

(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条?

(2)试比较立体图中∠BAC

与平面展开图中的大小关系

?

解:(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为

如图(1)中的∵

,,在中 . ,由勾股定理得: 。

答:这样的线段可画4条(另三条用虚线标出).

(2)∵ 立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角,∴ ∠BAC=45°. 在平面展开图中,连接线段

又∵

由勾股定理的逆定理可得

又∵

∴ △,由勾股定理可得:, 为直角三角形. , . ,。 为等腰直角三角形. ∴

相等. 所以∠BAC与

勾股定理周练习

试题部分:

(一)选择题

1.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的边长为( )

篇四:初中数学八年级勾股定理练习题

勾股定理练习题:练习一:(基础)

1.等腰三角形的腰长为13,底边长为10,则顶角的平分线为__12_.

2.一个三角形的三边之比为5∶12∶13,它的周长为60,则它的面积是__240_.

3.已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( D )

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(? 取3)

是( B ).

(A)20cm(B)10cm (C)14cm (D)无法确定

5. 在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2=___8___.

6.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt△的周长为( C )

A、121B、120

7.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是 (A)

C

C、132 D、不能确定

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.以上答案都不对

A

8.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(n >1),那么它的斜边长是( D )

A、2n

B、n+1

C、n2-1

D、n2+1

9.在△ABC中,?C?90?,若a?b?7,△ABC的面积等于6,则边长c=510.如图△ABC中,?ACB?90?,AC?12,BC?5,AN?AC,BM?BC则MN= 6

11.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 10

12.若△ABC是直角三角形,两直角边都是6,在三角形斜边上有一点P,到两直角边的距离相等,则这个距离等于 六根二

13.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想

把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?

小河

17km

14、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?叠,使它落在斜边AB

B

3cm

E

A

15.校园里有一块三角形空地,现准备在这块空地上种植草皮以美化环境,已经测量出它的三边长

分别是13、14、15米,若这种草皮每平方米售价120元,则购买这种草皮至少需要支出多少?

16、如图,在△ABC中,∠B=90?,AB=BC=6,把△ABC进行折叠,使点A与点D重合,BD:DC=1:2,折痕为EF,点E在AB上,点F在AC上,求EC的长。

D

C

提高题:

1、※直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为( )

(A

2d(B

d (C

)2d (D

)d 解:设两直角边分别为a,b,斜边为c,则c?2d,S?1

2

ab.由勾股定理,得a2?b2?c2.

所以?a?b?2

?a2?2ab?b2?c2?4S?4d2?4S.

所以a?b?所以a?b?

c?2d. 故选(C)

2※.在?ABC中,AB?AC?1,BC边上有2006个不同的点P1,P2,?P2006,

记m2

i?APi?BPi?PCi?i?1

,2,?2006?,则m1?m2??m2006=_____. 解:如图,作AD?BC于D,因为AB?AC?1,则BD?CD. 由勾股定理,得AB2?AD2?BD2,AP2?AD2?PD2.所以

AB2?AP2?BD2?PD2

??BD?PD??BD?PD??BP?PC

所以AP2?BP?PC?AB2?12.

因此m1?m2??m2006?12?2006?2006.

3※.如图所示,在Rt?ABC中,?BAC?90?,AC?AB,?DAE?45?,且BD?3,

CE?4,求DE的长

.

解:如右图:因为?ABC为等腰直角三角形,所以?ABD??C?45?.所以把?AEC绕点A旋转到?AFB,则?AFB??AEC.所以BF?EC?4,AF?AE,?ABF??C?45?.连结DF.所以?DBF为直角三角形

.

由勾股定理,得DF2?BF2?BD2?42?32?52.所以DF?5.因为?DAE?45?,所以?DAF??DAB??EAC?45?.所以?ADE??ADF?SAS?.所以DE?DF?5.

4、如图,在△ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC·PA+PA2的值。

B

C

5、※如图在Rt△ABC中,?C?90?,AC?4,BC?3,在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:

要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)

解:要在Rt△ABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。

篇五:初中数学勾股定理教学教案

初中数学勾股定理教学教案

课题:探索勾股定理

一、教学设计:

勾股定理是数学中最重要的定理之一,它揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系. 【教学目标】

知识技能:了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程.

数学思考:在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想. 解决问题:1.通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维.

2.在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究

结果.

情感态度:1.通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,激发学习热情.

2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交

流意识和探索精神.

【教学重点与难点】

1、重点是探索和证明勾股定理. 2、难点是用拼图的方法证明勾股定理.

二、 教学过程:

三、教学反思

1、本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体,以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式,提供了学生自主合作探究的舞台,营造了思维驰骋的空间,在经历知识的发现过程中,培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。

2、在课堂教学设计中,尽量为学生提供“做中学”的时空,不放过任何一个发展学生智力的契机,让学生在“做”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力,完善人格,从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。

3、“乐思方有思泉涌”,在课堂教学中,时时注意营造积极的思维状态,关注学生的思维发展过程,创设民主、宽松、和谐的课堂气氛,让学生畅所欲言,这样学生的创造火花才会不断闪现,个性才的以发展。