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2011河南初中数学竞赛

时间:2016-04-12 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:2013年全国初中数学竞赛河南赛区预赛(含答案)

2013年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若有理数a、b 满足 (a?1)?a?b)?0,则ab等于【 】 (A)?1

(B)1 (C)0(D)无法确定 【答】A.

解:因为a、b都是有理数,且(a?1)a?b)?0,所以a?1?0,且a?b?0,得

a??1,b?1,所以ab??1.

2. 如图,由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的 两个面垂直)成正方体后,重叠的两个面所标数字是【 】

(A)1和7(B)1和6(C)2和7(D)2和6【答】B.

第2题图

解:若将图中标有1的面去掉,则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图,其中标有3和6的面是对面;只看题图最下面一行,标有3和1的面应是对面,所以重叠的两个面是标有1和6的面,应选B.

3. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC, BD平分∠ABC交AC于点O,AE平分∠CAD交BD于点E,∠ABC=?,∠ACB=?,给出下列结论:

D

①∠DAE=12?;②ADAOCB?

CO;③∠AEB=1

2(???); ④∠ACD=180??(???).其中一定正确的有

(A)4个 (B)3个B

第3题图

(C)2个 (D)1个

【答】B.

解:(1)∵AD∥BC,∴∠DAE=111

2?DAC?2?ACB?2

?,∴①正确;

(2)∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴ADAO

CB?

CO

,∴②正确;

第1页(共6页)

(3)∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE +∠CBD=1

2

(???),∴③正确;

(4)∵∠BAC=180??(???),只有当AB∥DC时,∠ACD=180??(???)才能成立.∴④不正确.

综上,应选B.

4.如图,直线l1、l2相交于点A(3,2), l1、l2 与x轴分别交于点B(1,0)和C(?2,0),则当y2?y1?0时,自变量x的取值范围是【

(A)x??2 (B)x?1 (C)1?x?3(D)?2?x?3 【答】C.

解:由图象可知当y2?y1时,x?3, y当y1?0时,x?1,所以当y2?y1?0时,

1?x?3. 故应选C.

第4题图

5.关于x的不等式ax?3a?3?x的解集为x??3,则a应满足【 】 (A)a?1 (B)a?1(C)a≥1(D)a≤1 【答】B.

解:由ax?3a?3?x,得(a?1)(x?3)?0,由不等式的解集为x??3,知x?3?0,所以a?1?0,得a?1.故应选B.

6.如图的象棋盘中,“卒”从A点走到B点,最短路 径共有【】

(A)14条(B)15条 (C)20条(D)35条 【答】D.

第6题图

解:如右图,从点A出发,每次向上或向右走一 步,到达每一点的最短路径条数如图中所标数字,如: 35

到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3. 以此类推, 到达点B的最短路径条数为35条. 选D.

A二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)

7? y

【答】1

. 解:原式

?1? 28.如图是三个反比例函数y?

k1

x

,y?k2x,

y?k

3x

在x轴上方的图象,则k1、k2、k3的大小关系为

【答】k3?k2?k1.

解:由图象可知k1为负数,k2、k3为正数,不妨取x=1,代入解析式,显然点A(1,k2)在点B(1,k3)的正下方,所以k3?k2?0,又k1为负数,所以k3?k2?k1.

9.有6个小球,其中黑色、红色、绿色各2个,它们除颜色外其它都一样,将它们放入一个不透明的袋子中,充分摇匀后,从中随机摸出2个球,摸出的球颜色一样的概率是

【答】1

5

解:摸出的2个球都是黑球的概率是26?15?1

15

,所以摸出的球颜色一样的概率是

1115?3?5

. 10.如图,点C是线段AB上一个动点,∠A=∠B=30°,∠ADC=∠BEC=90°,若AB=8cm,则CD+CE. 【答】4.

解:在Rt△ADC中,∠A=30°,得DC?1

2

AC,

同理EC?12BC,所以DC?EC?111

2AC?2BC?2

AB?4( cm).

11.关于x的方程x2?(1?

m)x?m?2?0的两实数根之积等于m2?7m?2,则

的值是.

【答】4.

解:由题意得m?2?m2?7m?2,解得m1?0,m2?

8,当m1?

0时,原方程无实数根,当m2?8??4.

第2页(共6页)

12.计算:??1

?1?1?????

1??671??1??3?14?1?4

56

5?????1?670?????1?3?14?15?????1??11

671????4?

5

?16?????1?

670??

? 【答】

1

2013

. 解:令1?1?11

456

?????

?a,则原式=??a?1??670?671???1?a?

????1

?3?a?1??3?671??

×a =13a?a2?12013?1671

a?113a?a2?

671a=1

2013. 三、解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)

13.某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队,已知6人一列少2人,5人一列多2人,4人一列不多不少,请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人?【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人,6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列,则y?6a?2?5b?2?4c.(a、b、c是正整数)

∴ ?

?6a?2?b5?2,

①?6a?2?4c

.②

································································ 4分

由②,得 c?

6a?23a?142a2?a(?2

. 1 )

因为c为正整数,可令a?1?2m, 所以a?2m?1,(m是正整数)③ 将③代入①,得6(2m?1)?2?5b?2. ∴ b?

12m?2?1m0?

m2?(

. ·

15

5··)

······························································ 7分 因为b为正整数,可令m?1?5n, 所以m?5n?1,(n是正整数)④ 将④代入③,得 a?2(5n?1)?1?10n?1. ··············································· 11分 ∴ y?6a?2?6(1n0?1?)?2n6 0?(n是正整数).

当n=1时,y有最小值52. 即参加比赛列队的至少有52人. ··········· 14分

14.如图,在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A、B两点除外),过E、B、C三点的圆与BD相交于点H,与正方形ABCD的外角平分线相交于点F,与CD相交于点G.

(1)求证:四边形

EFCH是正方形; (2)设BE=x,△CGH的面积是y,

求y与x的函数解析式,并求y的最大值. 【答案】(1)∵ E、B、C、H、F在同 一圆上,且∠EBC=90°,

∴ ∠EHC=90°,∠EFC=90°. ································································ 2分 又 ∠FBC=∠HBC=45°,∴ CF= CH. ·················································· 4分 ∵ ∠HBF +∠HCF=180°,∴∠HCF=90°. ········································ 6分 ∴ 四边形EFCH是正方形. ·································································· 8分 (2)∵ ∠GHB +∠GCB=180°, ∴ ∠GHB=90°,由(1)知∠CHE=90°, ∴ ∠CHG +∠CHB=∠EHB+∠CHB. ∴ ∠CHG =∠EHB.

∴ CG=BE=x, ∴DG=DC?CG?1?x. ········································ 12分

∴ △CGH 中,CG边上是高为11

2DG?2(1?x).

2

∴ y?12x?12(1?x)??1?4??x?1?2???1

16

. ················································ 15分 当x=

12时,y有最大值1

16

. ································································· 16分 15. 数学活动课上,李老师出示了问题:已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,设BD=a,用含有a的式子表示AD的长.

E 图①

图②

经过思考和探讨,小明展示了一种解题思路:如图②,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.通过证明△

ABD≌△ACF,得到CF=a,

进而推出CE

,所以AD

=DE=CD+CE=a?(1?a.

在此基础上,李老师又提出了如下问题:

已知△ABC中,∠BAC=45°,AB>AC,AD是BC边上的高,设BD=a,CD=b,求AD的长.

请你画图并解答这个问题. 【答案】(1)当∠ACB为直角时,△ABC为直角三角形,b=0,AD=AC=BD=a. ····························································································································· 2分

第3页(共6页)

(2)当∠ACB为锐角时,如图③,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,

过点C作CF⊥AE于点F.则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形.

设AD

?DE?x,CF?EF?m.

则AE?. ∴AF??m. ··· 4分 ∵ ∠FAC+∠CAD =45°,∠DAB+∠CAD =45°,

∴ ∠FAC =∠DAB.

又 ∵∠AFC =∠ADB=90°,

∴△FAC∽△DAB. ……………………6分

∴FAFC

?mm?. ?.

E

DADB

xa图③

解得m

?

x?a.

∴CE??2ax

x?a?x?a

. ···························· 8分 ∵CE?CD?DE?AD, ∴2ax

x?a

?b?x. ·

···································· 10分 整理得 x2?(a?b)

x?ab?0.

解得xa?ba?b1?2

x2?2

(舍去). 12分

(3)当∠ACB为钝角时,如图④,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.与(1)中的求法类似,可设AD

?DE?x,CF?EF?m,

则AF??m.同(1)中的理由,得△FAC∽△DAB ,CE?2ax

x?a

.

∵AD?DE?CE?CD,∴x?2ax

x?a?b. ·

········································· 16分 整理,得 x2?(a

?b)x?ab?0,

解得x?

…17分

E

图④

综上,AD的长为a 或

. ·················································································· 18分

篇二:2014年河南省初中数学竞赛预赛试题及答案

2014年全国初中数学竞赛预赛

试题及参考答案

(竞赛时间:2014年3月2日上午9:00--11:00)

一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分) 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.若a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,c是倒数等于它本身的自然数,则a2013?2014b?c2015的值为【 】

(A)2013(B)2014(C)2015 (D)0 【答】D.

解:最大的负整数是-1,∴a=-1; 绝对值最小的有理数是0,∴b=0; 倒数等于它本身的自然数是1,∴c=1.

2013

∴a2013?2014b?c2015=(?1)?2014?0?12015=0.

?x?y?z?5,2. 已知实数x,y,z满足?则代数式4x?4z?1的值是【 】

?4x?y?2z?2.(A)?3 (B)3(C) ?7 (D)7 【答】A.

解:两式相减得3x-3z?-3,则4x?4z?1??3.

3.如图,将表面展开图(图1)还原为正方体,按图2所示摆放,那么,图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【 】

(A)a (B)b (C)c(D)d

a

N

图1

图2

c

(第3题图)

【答】C.

解:将图1中的平面图折成正方体,MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面,△AMN和△ABM所在的面为组A合面,则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面,比较图

Ba

McBN

图1

图2

2,首先确定B点,所以线段d与AM重合,MN与线段c重合.

4. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示,则下列7个代数式ab,ac,bc,

b2?4ac,a?b?c,a?b?c,2a?b中,其值为正的式子的个数为【 】

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)4个以上

【答】C.

解:由图象可得:a?0,b?0,c?0,∴ab?0,ac?0,bc?0. 抛物线与x轴有两个交点,∴b2?4ac?0.当x=1时,y?0,即a?b?c?0.

当x=?1时,y?0,即a?b?c?0.从图象可得,抛物线对称轴在直线x=1的左边,即

b

?1,∴2a?b?0.因此7个代数式中,其值为正的式子的个数为4个. 2a

5. 如图,Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合,∠AOB=90°,AO=2BO,当A点在

1

反比例函数y? (x>0)的图象上移动时,B点坐标满足的函数解析式为【 】

x

11

(A)y?? (x<0) (B)y??(x<0)

8x4x11

(C)y?? (x<0) (D)y??(x<0)

2xx

【答】B. ?

解:如图,分别过点A,B分别做y轴的垂线AN,BM,那么?ANO∽?OMB,则

S?ANOOA2

?()?4.S?OMBOB

?

S

?ANO?

111

ON?AN?,?S?OMB?.228

?OM?BM?

11,故y??. 44x

6.如图,四边形ABHK是边长为6的正方形,点C、D在边AB上,且AC=DB=1,点P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E、F分别为MN、QR的中点,连接EF,设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D时,点G移动的路径长为【 】

(A)1(B)2(C)3(D)

6

【答】B.

解:设KH中点为S,连接PE、ES、SF、PF、PS,可证明四边形PESF为平行四边形,

∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中,G始终为PS的中点,所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,

∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4,∴点G移动的1

路径长为?4=2.

2

二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分) 7.已知?

23

?x?2,化简2x?3?(x?9)得 . 2

【答】3x-6. 解:∵?

3

?x?2,∴2x?3?0,x?9?0, 2

原式=2x?3?x?9?3x?6.

8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个,其中红色玻璃球有6个,黄色玻璃球有9个,已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为

2

,那么,随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 .

5

【答】

6. 25

解:设口袋中蓝色玻璃球有x个,依题意,得出一个红色玻璃球)=

66

. ?

6?9?1025

x2

?,即x=10,所以P(摸

6?9?x5

x2?x?119. 若?4,则x2?2?1?.

xx

【答】8.

x2?x?11

?4,∴x??3. 解:∵

xx

1112

则(x?)2?9,即x2?2?7.∴x?2?1?8.

xxx

10.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,AB=2,将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD,则AB扫过的面积为 (第10题图)

【答】?.

解:∵Rt△OAB中,∠AOB=30°,AB=2,

∴AO=CO=2,BO=DO=4,

∴阴影部分面积=S扇形OBD?S△AOB?S扇形OAC?S△COD=S扇形OBD?S扇形OAC

90???4290???(2)2

? ==?.

360360

11.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AD上一个动点,把△BAE沿

BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时,CA1

EDA【答】22?1. 解:过A1作A1M⊥BC,垂足为M,设CM=A1M=x,

则BM=4-x,

在Rt△A1BM中,

A1

B

(第11题图)

A1M2?A1B2?BM2?9?(4?x)2,

∴9?(4?x)2=x2,∴x =A1M=2?

2, 2

∴在等腰Rt△A1CM中,C A1=22?1.

12.已知a、b、c、d是四个不同的整数,且满足a+b+c+d =5,若m是关于x的方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=2014中大于a、b、c、d的一个整数根,则m的值为【答】20.

解:∵(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=2014,且a、b、c、d是四个不同的整数,由于m是大于a、b、c、d的一个整数根,∴(m-a)、(m-b)、(m-c)、(m-d)是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53,

∴(m-a)+(m-b)+(m-c)+(m-d)=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5,∴m =20.

三、解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)

13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品的购买数量各为多少?

解:设购买小笔记本x本,大笔记本y本,钢笔z支,

则有5x?7y?10z?346,y?2z.

易知0<x≤69,0<y≤49,0<z≤34, ……………………………………4分

346?24z

∴5x?14z?10z?346,5x?24z?346,即x?.

5

∵x,y,z均为正整数,346?24z≥0,即0<z≤14

∴z只能取14,9和4. …………………………………………………8分

346?24z

①当z为14时, x?=2,y?2z=28. x?y?z?44.

5346?24z

②当z为9时, x?=26,y?2z=18. x?y?z?53.

5346?24z

③当z为4时, x?=50,y?2z=8. x?y?z?62.

5

综上所述,若使购买的奖品总数最多,应购买小笔记本50本,大笔记本8本,钢笔4支. ……………………………………………………………………14分

14.如图,在矩形ABCD中,AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F,AE=6.

(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合),PH?DE于H,设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式;

(2)若AE=2EB.

篇三:2011年全国初中数学竞赛试题及答案

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 (天津赛区)试题参考答案及评分标准

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)

(1

)设x?x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( ). (B)1 (C)﹣1 (D)2 (A)0

【答】C.

解:由已知得x

2?3x?1?0, 于是 x(x?1)(x?2)(x?3)?(x2?3x)(x2?3x?2)?(x?3x?1)?1??1.22

(2)已知x,y,z为实数,且满足x?2y?5z?3,x?2y?z??5,则 x2?y2?z2的最小值为( ).

(A)

【答】D. 1 11(B)0 (C)5 (D)54 11

?x?3z?1,?x?2y?5z?3,解:由 ? 可得 ? y?z?2.x?2y?z??5,??

于是 x2?y2?z2?11z2?2z?5. 154222时,x?y?z的最小值为. 1111

y因此,当z?(3)若x?1,y?0,且满足xy?xx?x3y,则x?y的值为( ). y

(C)(A)1

【答】C. (B)2 9 2(D)11 2

解:由题设可知y?

故yxy?1,于是 x?yx3y?x4y?,所以4y?1?1. 1?91,从而x?4.于是x?y?. 22

1111?????,则4S的整数部分等于( ). 33331232011

(B)5 (C)6 (D)7 (4)设S?(A)4

【答】A.

111?11? 3 ? , 2011,因为3????解:当k?2,,?, 2k2k?1kkk?1kk?1??所以1?S?1?1111?11?5?????1?????. 2333201132?22011?2012?4

于是有4?4S?5,故4S的整数部分等于4.

,AC上,BE,CD相交于点F,设(5)点D,E分别在△ABC的边AB

S四边形EADF?S1,S?BDF?S2,S?BCF?S3,S?CEF?S4,

则S1S3与S2S4的大小关系为( ).

(A)S1S3?S2S4(B)S1S3?S2S4

(C)S1S3?S2S4(D)不能确定

【答】C.

?, 解:如图,连接DE,设S?DEF?S1

则S1?EFS4??,从而有S1?S3?S2S4.因为S1?S1?,所以S1S3?S2S4. S2BFS3

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

(6)两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为.

【答】31.

b?2011,解:由勾股定理,得 a2?(b?1)2?b2?2b?1.因为b是整数,所以a2

是1到4023之间的奇数,而且是完全平方数,这样的数共有31个,即32,因 52, ? , 632.此a一定是3,5,…,63,故满足条件的直角三角形的个数为31.

(7)一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数之和为7的概率是. 【答】1. 6

解: 在3

2011河南初中数学竞赛

6对可能出现的结果中,有6对:(1,6), (2,5), (2,5), (3,4),(3,4),(4,3)的和为7,所以朝上的面两数字之和为7的概率是61?. 366

(8)

若y?【答】22最小值为b,则a?b的值为 a,3. 2

11≥0,得≤x≤1.

22解:由1?x≥0,且x?

y2?

由于11??? 22133<<1,所以当x=时,y2取到最大值1,故a=1. 244

113222或1时,y取到最小值,故b=.所以,a?b?. 22

22

2(x>0)与矩形OABC的边CB, BA分别交于点E,F,x当x=(9)如图,双曲线y?

且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为. 【答】3. 2

b

2(a(a,b)解:如图,设点B的坐标为,则点F的坐标为.因为点F在双曲线

2上,所以ab?4. 又点E在双曲线上,且纵坐标 x

2为b,所以点E的坐标为(,b).于是 by?

S?OEF?S梯形OFBC?S?OEC?S?FBE

1b121b2??b)a??b????(a?) 222b22b

13?ab?1?2)?.22(10)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为.

【答】84.

解:如图,设BC=a,AC=b,

则a?b?35=1225.①

又Rt△AFE∽Rt△ACB, 所以222FEAF12b?12??,即, CBACab

故12(a?b)?ab. ②

(a?b)?a?b?2ab?1225?24(a?b)由①②得 ,

解得a+b=49(另一个解-25舍去),所以 a?b?c?49?35?84.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

(11)已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程2222

x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

解:设方程x?ax?b?0的两个根为?,?,其中?,?为整数,且?≤?, 2

,??1,由题意得 则方程x?cx?a?0的两根为??12

?????a,???1????1??a, ………………………………5分

两式相加,得???2??2??1?0,即 (??2)(??2)?3,

???2?1,???2??3,所以,? 或?………………………………10分 ??2?3;??2??1.??

????1,????5, 解得 ? 或? ??1;???3.??

又因为a?? (???),b???,c??([??1)?(??1)],

,c??2;或者a?8,b?15,c?6, 所以a?0,b??1

故a?b?c??3,或29.………………………………………………20分

(12)如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,

求证:点P为CH的中点.

证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q,

QC,QH. 连接AH,BD,QB,

因为AB为⊙O1的直径,

所以∠ADB?∠BDQ?90?.…………5分

故BQ为⊙O2的直径.

BH?HQ.

于是CQ?BC,

BH?AC 又因为点H为△ABC的垂心,所以AH?BC,

所以AH∥CQ,AC∥HQ,

四边形ACQH为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P为CH的中点.………………………………………………20分

篇四:2011年全国初中数学竞赛试题

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150

答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答

2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

、设x?

x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( C ) A.0 B.1 C.-1 D.2

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:

(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v,都有(u,v)?(x,y)?(u,v),那么(x,y)为( B )。

A.(0,1)B.(1,0)C.(?1,0)D.(0,?1)

53

3、已知A,B是两个锐角,且满足sin2A?cos2B?t,cos2A?sin2B?t2,则

44

实数t所有可能值的和为( C )

8511

A.? B.? C.1 D.

333

4、如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设则S1S3与S2S4的大小关系为( C ) S四边形EADF=S1,S?BDF=S2,S?BCF=S3,S?CEF=S4,

A.S1S3<S2S4 B.S1S3=S2S4 C.S1S3>S2S4 D.不能确定

B 1111

5、设S=3+3+3+?+,则4S的整数部分等于( A ) 3

1232011

C

E

A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为__31__。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这

两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。 8、如图,双曲线y?

2

(x?0)与矩形OABC的边x

19

CB,BA分别交于点E,F且AF=BF,连接EF,则

3

△OEF的面积为_____;

2

9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为_____。28 ___。5

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程

x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值。

10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?1?10c?d,则这样的四位数的个数为

解:设方程x2?ax?b?0的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β

则方程x2?cx?a?0的两个整数根为α+1、β+1, 由根与系数关系得:α+β=-a,(α+1)(β+1)=a 两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3

???2?1???2??3????1????5∴?或?解得:?或? ???2?3???2??1???1????3

又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)] ∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6 故a?b?c=-3或a?b?c=29

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2

相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点。 证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q

连结AH,BD,QC,QH

∵AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=900 ∴BQ为⊙O2的直径 于是CQ⊥BC,BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC ∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

A

13、若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,

a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值。

解:若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整

数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,

若a1,a2,a3,a4,a5都不是素数,则a1,a2,a3,a4,a5中至少有四个数是合数,不妨假设a1,a2,a3,a4为合数,

设a1,a2,a3,a4的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4 由于a1,a2,a3,a4两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同 设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7

因为a1,a2,a3,a4为合数,所以a1,a2,a3,a4中一定存在一个

aj≥p2≥72=49,与n≥49矛盾,于是a1,a2,a3,a4,a5中一定有一个是素数 综上所述,正整数n的最大值为48。

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC。点P在△ABC内,且PA

PB=5,PC=2,求△ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,

则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2 于是,AQ=2 AP=2,BQ=2CP=4

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60° 由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900 于是,PQ=3AP=3

∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900 作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知 ∠AQM=600,QM=3,AM=3,于是,

2

2

2

2

2

A

P

B ∴AB=BM+AM =(4+)+3=28+83

C

故S△ABC=AB?ACsin600=

126?7AB 2= 82

题目:

1.分解因式:(x^4-x^2-4)(x^4+x^2+3)+10=____.(第12届“竞赛题”) 2.多项式x^2y-y^2z+z^2x-x^2z+y^2x+z^2y-2xyz因式分解后的结果是() A.(y-z)(x+y)(x-z) B.(y-z)(x-y)(x+z)

C.(y+z)(x-y)(x+z) D.(y+z)(x+y)(x-z) (竞赛题) 分解因式:

3.(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2 (竞赛题) 4.1999x^2-(1999^2-1)x-1999 (重庆市竞赛题) 5.(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)^2 (“”邀请赛试题)

6.(2x-3y)^3+(3x-2y)^3-125(x-y)^3 (第13届“五羊杯”竞赛题) 7.a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 8.x^2+xy-2y^2-x+7y-6

9.证明:对任何整数x和y,下式的值都不会等于33.

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5. (奥林匹克八年级试题) 10.分解因式:4x^2-4x-y^2+4y-3=____. (重庆市竞赛题) 11.如果x^3+ax^2+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=( ) A.7 B.8 C.15 D.21 (武汉市选拔赛试题) 分解因式:

12.x^4-7x^2+1 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 13.x^4+x^2+2ax+1-a^2 (哈尔滨市竞赛题) 14.x^4+2x^3+3x^2+2x+1 (河南省竞赛题)

15.k为何值时,多项式x^2-2xy+ky^2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积?(天津市竞赛题) 16.如果多项式x^2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式(x+b)、(x+c)的乘积(b、c为整数),则a的值应为多少? (第17届江苏省竞赛题)

17.若x^2+xy+y=14,y^2+xy+x=28,则x+y的值为___.(题)

18.已知a、b、c是一个三角形的三边,则a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2的值( ) A.恒正B.恒负C.可正可负D.非负(竞赛题)

(下面这几题是分数,我这么打,看不明白再跟我说) 计算下列各题:

19.分子:(2*5+2)(4*7+2)(6*9+2)(8*11+2)…(1994*1997+2) 分母:(1*4+2)(3*6+2)(5*8+2)(7*10+2)…(1993*1996+2) 20.分子:2000^3-2*2000^2-1998 分母:2000^3+2000^2-2001

21.分子:(7^4+64)(15^4+64)(23^4+64)(31^4+64)(39^4+64)

分母:(3^4+64)(11^4+64)(19^4+64)(27^4+64)(35^4+64)(第9届“华杯赛”试题)

22.已知n是正整数,且n^4-16n^2+100是质数,求n的值.(第13届“希望杯”邀请赛试题) 23.求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解.(上海市竞赛题)

24.设x、y为正整数,且x^2+y^2+4y-96=0,求xy的值.(第14届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨:

1.视x^4+x^2为一个整体,用一个新字母代替,从而能简化式子的结构.

2.原式是一个复杂的三元三次多项式,直接分解有一定困难,把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式,改变其结构,寻找分解的突破口.

3.原式是形如abcd+e型的多项式,分解此类多项式时,可适当把4个因式两两分组,使得分组相乘后所得的有相同的部分.

4.原式中系数较大,不妨把数用字母表示.

5.原式中x+y,xy多次出现,可引进两个新字母,突出式子特点. 6.原式前两项与后一项有密切联系.(个人觉得这句话真废) 7.原式字母多、次数高,可尝试用主元法.

8.原式是形如ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f的二元二次多项式,解题思路宽,用主元法或法或用待定系数法分解.

9.33不可能分解为四个以上不同的积,于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可.

10.直接分组分解困难,由式子的特点易想到,关键是将拆成几个数的,以便凑配.

11.原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式,故可考虑用待定系数法解,或用赋值法. 12、13、14所给多项式,或有两项的平方和、或有两项的积的2倍,只需配上缺项,就能用方法恰当分解.

15.因k为二次项系数,故不宜从二次项入手,而x^2+3x+2=(x+1)(x+2),可得多项式必为(x+my+1)(x+ny+2)的形式.

16.由待定系数法得到b、c、a的,通过消元、分解因式解,求出b、c、a的值. 17.恰当处理两个等式,分解关于x+y的二次三项式.

18.从变形给定的入手,解题的关键是由式子的特点联想到熟悉的结果,注意的约束.

19、20、21.观察分子、分母数字间的特点,用,从一般情况考虑,通过分解变形,寻

.

21

a^4+64=(a^4+16a^2+64)-16a^2=(a^2+8)^2-(4a)^2=(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)的结果.

22.从因数分解的角度看,质数只能分解成1和它本身的乘积(也可以从整除的角度看),故对原式进行恰当的分解变形,是解本题最自然的思路.

23、24.观察方程的特点,利用整数解这个特殊条件,运用因式分解或配方,寻找解题突破口.

答案(打得好累,直接就打最后答案了): 1.(x^2+1)(x+1)(x-1)(x^4+x^2+1) 2.A

3.(x^2+6x+6)^2

4.(1999x+1)(x-1999) 5.(x-1)^2(y-1)^2

6.-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y) 7.(b-c)(a-b)(a-c)

篇五:2011年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.设a1,则代数式3a3?12a2?6a?12的值为( ).

(A)24 (B)25 (C)10 (D)12

(a,b)(c,d)2.对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对与之间的运算

“△”为:(a,b)△(c,d)=(ac?bd,ad?bc).如果对于任意实数u,v, 都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( ).

(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(﹣1,0) (D)(0,-1)

x

3.若x?1,y?0,且满足xy?xy?x3y,则x?y的值为( ).

y911(D) 22

4.点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设

(A)1(B)2 (C)

S四边形EADF?S1,S?BDF?S2,S?BCF?S3,S?CEF?S4,则S1S3与S2S4的大小关系为( ).

(A)S1S3?S2S4 (B)S1S3?S2S4(C)S1S3?S2S4 (D)不能确定 5.设S?

1111?????,则4S的整数部分等于( ). 333312399

(A)4 (B)5 (C)6(D)7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是.

7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.

8.如图,点A,B为直线y?x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线y?

1

(x>0)于C,D两点. 若BD?2AC,则4OC2?OD2 的值x

为.

9

.若y?为.

a,最小值为b,则a2?b2的值 10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?

0的两个整数根恰好比方程

x2?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c的值.

12.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点.

13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y?

22

x于P,Q两点. 3

(1)求证:∠ABP=∠ABQ;

(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

14.如图,△ABC中,?BAC?60?,AB?2AC.点P在△ABC

内,且

PA?PB?5,PC?2,求△ABC的面积.

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题 1.A

解:

因为a?1,

a?1?, a2?6?2a, 所以

3a3?12a2?6a?12?3(a6?2a)?12(6?2a)?6a?12

??6a2?12a?60

??(66?2a)?12a?60?24.

2.B

?ux?vy?u,?u(x?1)?vy?0,解:依定义的运算法则,有?即?对任何实数

vx?uy?v,v(x?1)?uy?0??

u,v都成立. 由于实数u,v的任意性,得

(x,y)=(1,0).

3.C

解:由题设可知y?x

y?1

,于是

x?yx3y?x4y?1,

所以 4y?1?1, 故y?

91

,从而x?4.于是x?y?.

22

S1?EFS4

??,S2BFS3

4.C

?则解:如图,连接DE,设S?DEF?S1,

从而有S1?S3?S2S4.因为S1?S1?,所以S1S3?S2S4.

5.A

3 ? , 99时,因为

解:当k?2,,

111?11??????, 32kkk?12?k?1kkk?1?

所以 1?S?1?

111111?5?

. ?????1?????3

2333994?22?99?100

于是有4?4S?5,故4S的整数部分等于4.

二、填空题 6.3<m≤4

解:易知x?2是方程的一个根,设方程的另外两个根为x1,则x1?x2?4, x2,

x1x2?m.显然x1?x2?4?2,所以

??16?4m≥0, x1?x2?2,

2,??16?4m≥

0,所以

2, ??16?4m≥0,

解之得 3<m≤4.

7.

解: 在36对可能出现的结果中,有4对:(1,4),(2,3),(2,3),(4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是 8.6

(a,b)(c,d) 解:如图,设点C的坐标为,点D的坐标为,(a,a)(c,c). 因为点C,D在则点A的坐标为,点B的坐标为

1

9

41?. 369

双曲线y?

1

上,所以ab?1,cd?1. x

由于AC?a?b,BD?c?d, 又因为BD?2AC,于是

c?d?2a?b,c2?2cd?d2?(4a2?2ab?b2),

4a2?b2)?(c2?d2)?8ab?2cd?6,所以 (

即4OC2?OD2?6.

9

3

2