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2011年全国初中数学竞赛

时间:2016-04-21 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:2011年全国初中数学竞赛试题及答案

2011年全国初中数学竞赛试题

考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150

答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答

2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1

、设x?

2

,则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为( C )

A.0 B.1 C.-1 D.2

2、对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为:

(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v(u,v)?(x,y)?(u,v),那么(x,y)为(

,都有

B )。

A.(0,1)B.(1,0)C.(?1,0)D.(0,?1) 3、已知A,B是两个锐角,且满足sin2A?cos2B?实数t所有可能值的和为( C )

A.? B.? C.1 D.

3

3

8

5

113

54t

,cos2A?sin2B?

34

t

2

,则

4、如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点F,设

S四边形EADF=S1,S?BDF=S2,S?BCF=S3

,S?CEF=S4,则S1S3与S2S4的大小关系为( C )

A.S1S3<S2S4 B.S1S3=S2S4 C.S1S3>S2S4 D.不能确定 5、设S=

11

3

E C

12

3

13

3

+?+

12011

3

B

,则4S的整数部分等于( A )

A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、两条直角边长分别是整数a,b(其中b?2011),斜边长是b?1的直角三角形的个数为__31__。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这

第 1 页 共 3 页

两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。

9

1

8、如图,双曲线y?

2x

(x?0)

与矩形OABC的边

CB,BA分别交于点E,F且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为_____;

23

9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为_____。28 ___。5

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程

2

x?ax?b?0的两个根都大1,求a?b?c

10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?1?10c?d,则这样的四位数的个数为

的值。

解:设方程x2?ax?b?0的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β

则方程x2?cx?a?0的两个整数根为α+1、β+1, 由根与系数关系得:α+β=-a,(α+1)(β+1)=a 两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3 ∴?

???2?1???2?3

???2??3???2??1

????1???1

????5????3

或?解得:?或?

又∵a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)] ∴a=0,b=-1,c=-2或a=8,b=15,c=6 故a?b?c=-3或a?b?c=29

12、如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2

相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点。 证明:如图,延长AP交⊙O2于点Q

连结AH,BD,QC,QH

∵AB为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=900 ∴BQ为⊙O2的直径 于是CQ⊥BC,BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC ∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

第 2 页 共 3 页

13、若从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,

a5,其中总有一个整数是素数,求n的最大值。

解:若n≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整

数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数a1,a2,a3,a4,a5,

若a1,a2,a3,a4,a5都不是素数,则a1,a2,a3,a4,a5中至少有四个数是合数,不妨假设a1,a2,a3,a4为合数,

设a1,a2,a3,a4的最小的素因数分别为p1,p2,p3,p4 由于a1,a2,a3,a4两两互素,∴p1,p2,p3,p4两两不同 设p是p1,p2,p3,p4中的最大数,则p≥7

因为a1,a2,a3,a4为合数,所以a1,a2,a3,a4中一定存在一个

aj≥p2≥72=49,与n≥49矛盾,于是a1,a2,a3,a4,a5中一定有一个是素数 综上所述,正整数n的最大值为48。

14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC。点P在△ABC内,且PA

=,PB=5,PC=2,求△ABC的面积。

解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,

则△ABQ∽△ ACP,由于AB=2AC,∴相似比为2 于是,AQ=2 AP=2

3

,BQ=2CP=4

A

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60° 由AQ:AP=2:1知,∠APQ=900 于是,PQ=

3

AP=3

P

∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900 作AM⊥BQ于M,由∠BQA=1200,知 ∠AQM=600,QM=

2

2

2

3

,AM=3,于是,

3

∴AB=BM+AM =(4+故S△ABC=AB?ACsin600=

21

)+3=28+8

3

22

3

C

8

AB 2=

6?73

2

第 3 页 共 3 页

篇二:2011年全国初中数学竞赛决赛试题(含答案及解析)

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

答题时注意:

1.用圆珠笔或钢笔作答;2.解答书写时不要超过装订线;3.草稿纸不上交.

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)

1.设a?

1,则代数式3a?12a?6a?12

3

2

的值为( ).

10

(A)24 (B)25 (C)(D)12

2.对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对与之间的运算(a,b)(c,d)“△”为:(a,b)△(c,d)=(ac?bd,ad?bc).如果对于任意实数u,v, 都有(u,v)△(x,y)=(u,v),那么(x,y)为( ).

(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(﹣1,0) (D)(0,-1) 3.若x?1,y?0,且满足xy?xy,

xy?x

3y

,则x?y的值为( ).

92

(A)1(B)2 (C)4.点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,

S四边形EADF?S1,S?BDF?S2,S?BCF?S3,S?CEF?S4

2

BE,CD相交于点F

(D)

11

,设

,则S1S3与S2S4的大小关系为

( ).

(A)S1S3?S2S4 (B)S1S3?S2S4(C)S1S3?S2S4 (D)不能确定 5.设S?

11

3

?

12

3

?

13

3

???

199

3

,则4S的整数部分等于( ).

(A)4 (B)5 (C)6(D)7

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6.若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是.

7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.

8.如图,点A,B为直线y?x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线

y?

1x

(x>0)于C,D两点. 若BD?2AC,则4OC2?OD2 的值

为.

9

.若y?为.

的最大值为a,最小值为b,则a2?b2的值

10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于△ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为.

三、解答题(共4题,每题20分,共80分)

11.已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程

x?ax?b?0

2

的两个根都大1,求a?b?c的值.

12.如图,点H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:点P为CH的中点

.

13.如图,点A为y轴正半轴上一点,A,B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y?

23x

2

于P,Q两点.

(1)求证:∠ABP=∠ABQ;

(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.

14.如图,△ABC中,?BAC?60?,AB?2AC.点P在△ABC

内,且

PA?

PB?5,PC?2,求△ABC

的面积.

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题 1.A 解:

因为a?

3

2

?1,

a?1?, a?6?2a, 所以

2

3a?12a?6a?12?3(a6?2a)?12(6?2a)?6a?12

??6a?12a?60

??(66?2a)?12a?60?24.

2

2.B

?ux?vy?u,?u(x?1)?vy?0,

解:依定义的运算法则,有?即?对任何实数

?vx?uy?v,?v(x?1)?uy?0

u,v都成立. 由于实数u,v的任意性,得

(x,y)=(1,0).

3.C

y?1

解:由题设可知y?x,于是

x?yx

3y

?x

4y?1

所以 4y?1?1, 故y?

12

,从而x?4.于是x?y?

92

4.C

解:如图,连接DE,设S?DEF?S1?,则

S1?S2

?EFBF

?S4S3

从而有S1?S3?S2S4.因为S1?S1?,所以S1S3?S2S4.

5.A

解:当k?2, 3, ? , 99时,因为

1k

3

?

1k?k?1?

2

?

?1?11

???

2??k?1?kk?k?1??

所以 1?S?1?

12

3

?

13

???3

?1?3

99

1

11????221?5

. ??

?99?100

4

于是有4?4S?5,故4S的整数部分等于4.

二、填空题 6.3<m≤4

解:易知x?2是方程的一个根,设方程的另外两个根为x1,则x1?x2?4, x2,

x1x2?m

.显然x1?x2?4?2,所以

??16?4mx1?x2?2,

≥0,

?2

,?

?16?4m

0,所以

≥0,

?2, ??16?4m

解之得 3<m≤4.

7.

91

解: 在36对可能出现的结果中,有4对:(1,4),(2,3),(2,3),(4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是 8.6

解:如图,设点C的坐标为,点D的坐标为,(a,b)(c,d)则点A的坐标为,点B的坐标为(a,a)(c,c). 因为点C,D在双曲线y?

1x

436

?

19

.

上,所以ab?1,cd?1.

由于AC?a?b,BD?c?d, 又因为BD?2AC,于是

c?d?2a?b,c?2cd?d?(4a?2ab?b),

2222

4a?b)(?c?d)?8ab?2c

2011年全国初中数学竞赛

d?6,所以 (

2222

即4OC2?OD2?6.

9.

32

12

解:由1?x≥0,且x?≥0,得

1

2

x≤1.

篇三:2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.已知( )

A.1. B.?1. C.?【答】B.

a?b?2,

(1?a)2(1?b)2

???4,则abba

11

. D..

22

的值为

(1?a)2(1?b)2

???4可得a(1?a)2?b(1?b)2??4ab, 由

ba

即(a?b)?2(a2?b2)?a3?b3?4ab?0,

即2?2(a2?b2)?2(a2?ab?b2)?4ab?0,即2?2ab?4ab?0,所以ab??1.

2.已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条

高线长的最大值为( )

A.5. B.6. C.7. D.8. 【答】B.

设△ABC的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为然

2S2S2S,,.显520h

2S2S?,于是由三边关系,得 520

?2S2S2S?20?h?5,20

4?h? 解得. ?2S2S2S

3???,

h?205

所以h的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.

3

|x2?1|?(4?23)(x?2)

的解的个数为

( )

A.1个 B.2个C.3个D.4个 【答】C.

当|x|?1时,方程为x2?1?(4?23)(x?2),即x2?(4?2)x?9?4?0,

解得x1?

x2?4?|x|?1.

当|x|?1时,方程为1?x2?(4?23)(x?2),即x2?(4?2)x?7?4?0,

解得x32,满足|x|?1.

综上,原方程有3个解.

.4.今有长度分别为1,2,?,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,

由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有( )

A.5组. B.7组. C.9组.D.11组. 【答】C.

显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.

又因为1?2???9?45,所以正方形的边长不大于[

7?1?6?2?5?3?4; 9?1?8?2?7?3?6?4?5;

1?9?2?8?3?7?4?6;2?9?3?8?4?7?5?6.

45

]?11.由于 4

8?1?7?2?6?3?5

所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成边长为9的正方形,

有5种方法。

故满足条件的“线段组”的组数为1×4+5=9.

DF?1,AB?3,?DAB?60?,?EFG?15?,FG?BC,5.如图,菱形ABCD中,

则AE?

A.1?2.B.6. C.23?1. D.1?3. 【答】 D.

过F作AB的垂线,垂足为H.∵?DAB?60?,AF?AD?FD?2, ∴?AFH?30?,AH?1,FH?3,

又∵?EFG?15?,

∴?EFH??AFG??AFH??EFG?90??30??15??45?, 从而△FHE是等腰直角三角形,所以HE=FH

∴ AE?AH?HE?1?3. 6.已知( )

C

H

EB

111111111234??,??,??,则??的值为 xy?z2yz?x3zx?y4xyz

A.1. B.【答】C. 由已知等式得

35.C.2. D.. 22

xy?zxyz?xyzx?yzxy?yz?zx9

?2,?3?4,所以?.

x?y?zx?y?zx?y?zx?y?z2

y5zy5yz5zx3xy1

??3?,所以 ???.

x3yx3x?y?z2x?y?z2x?y?z2

即z?3y?5x。

代入

11123111

?,解得x???,得?.

x5210xy?z2x?5x

323423423???????2.

xyzx5x5xx3

所以

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

1.在△ABC中,已知?B?2?A,BC?2,AB?2?23,则?A? 【答】 15?。

延长AB到D,使BD=BC,连线段CD,则?D??BCD?CA=CD。

作CE?AB于点E,则E为AD的中点,故

1

?ABC??A,所以2

AE?DE?

111

AD?(AB?BD)?(2?2)?2?

222

EB

D

BE?AB?AE?(2??(2?.

Rt△BCE

,co?sEBC?

EB,所以?EBC?30?,故 ?

BC2

?A?

1

?ABC?15?. 2

2

2.二次函数y?x?bx?c的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则b?2c? .

【答】 2.

?b?b2?4c?b?b2?4c

由已知,得C(0,c),A(,0),B(,0),

22

bb2?4c

D(?,?).

24

b2?4c

?b2?4c,得过D作DE?AB于点E,,则2DE?AB,即2?4

b2?4c?22?4c,

所以b2?4c?0或b2?4c?2.又b?4c?0,所以b2?4c?2.

2

?b?2?4c

又OC?OB,即c?,得b?2c?b2?4c?2.

2

3.能使2?256是完全平方数的正整数n的值为 . 【答】 11.

当n?8时,2n?256?2n(1?28?n),若它是完全平方数,则n必为偶数.

n2n4

若n?2,则2?256?2?65;若n?4,则2?256?2?17;若n?6,则

n

2n?256?26?5;若n?8,则2n?256?28?2。所以,当n?8时,2n?256都不是

完全平方数.

n?8n8n?8

当n?8时,2?256?2(2?1),若它是完全平方数,则2?1为一奇数的平

方。

设2

n?8

n?10

,则2?1?(2k?1)2(k为自然数)?k(k?1).由于k和k?1一奇一偶,

n?10

?2,故n?11. 所以k?1,于是2

4.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的

连AD,BC.因为AB为⊙O的直径,AF为⊙O的切线,所以

F

?EAF?90?,?ACD??DAF.

又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点,

∴ DA?DE?DF,∴ ?DAF??AFD, ∴ ?ACD??AFD,∴ AF?AC?8. 在Rt△AEF中,由勾股定理得 EF

2

?AE2?AF2,即 36x2?y2?320.

设BE?z,由相交弦定理得 CE?DE?AE?BE,即yz?4x?3x?12x2, ∴ y2?320?3yz① 又∵ AD?DE, ∴ ?DAE??AED.

又?DAE??BCE,?AED??BEC,∴ ?BCE??BEC,从而BC?BE?z. 在Rt△ACB中,由勾股定理得 AB?AC?BC,即(y?z)2?320?z2, ∴ y2?2yz?320.② 联立①②,解得y?8,z?16. 所以AB?AE?BE?24.

2

2

2

第二试 (A)

一、(本题满分20分)已知三个不同的实数a,b,c满足a?b?c?3,方程

x2?ax?1?0和x2?bx?c?0有一个相同的实根,方程x2?x?a?0和x2?cx?b?0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.

解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.

?x12?ax1?1?0,设x1是方程①和方程②的一个相同的实根,则?2 两式相减,可解得

?x1?bx1?c?0,

x1?

c?1

. a?b

??????

??5分

2?x2?x2?a?0,

设x2是方程③和方程④的一个相同的实根,则?2两式相减,可解得

x?cx?b?0,2?2

x2?

a?b

。 c?1