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高中数学数列题型总结

时间:2017-01-13 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:高中数学数列复习 题型归纳 解题方法整理

数列

一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想:

常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

2.等差数列与等比数列的联系

1)若数列?an?是等差数列,则数列{an}是等比数列,公比为a,其中a是常数,d

a

d

是?an?的公差。(a>0且a≠1);

2)若数列?an?是等比数列,且an?0,则数列?logaan?是等差数列,公差为logaq,其中a是常数且a?0,a?1,q是?an?的公比。

3)若{an}既是等差数列又是等比数列,则{an}是非零常数数列。

3.等差与等比数列的比较

1

4、典型例题分析

【题型1】 等差数列与等比数列的联系

例1 (2010陕西文16)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{2}的前n项和Sn. 解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得

an

2(1?2n)n+1

Sm=2+2+2+?+2==2-2.

1?2

2

3

n

小结与拓展:数列?an?是等差数列,则数列{an}是等比数列,公比为a,其中a是

a

常数,d是?an?的公差。(a>0且a≠1).

2

1?2d1?8d

=, 11?2d

解得d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2

am

=2,由等比数列前n项和公式得

n

d

【题型2】 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合

例2已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且a1+2a2+2a3+?+2

-1

*

2

n

an=8n对任意的n∈N都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列.求数列{an}与{bn}的通项

公式。

解:a1+2a2+2a3+?+2

2

2

n-1

an=8n(n∈N) ①

n-2

*

当n(来自:WWw.hn1c.com 唯 才教 育 网:高中数学数列题型总结)≥2时,a1+2a2+2a3+?+2①-②得2

n-1

an-1=8(n-1)(n∈N) ②

*

an=8,求得an=2

4-n

在①中令n=1,可得a1=8=2∴an=2

4-n

*

4-1

(n∈N). 由题意知b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,

∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2,∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6, 法一(迭代法)

bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+?+(2n-8)=n-7n+14(n∈N). 法二(累加法)

即bn-bn-1=2n-8, bn-1-bn-2=2n-10, ?

b3-b2=-2, b2-b1=-4, b1=8,

相加得bn=8+(-4)+(-2)+?+(2n-8)

(n-1)(-4+2n-8)2*

=8+=n-7n+14(n∈N).

2

小结与拓展:1)在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:2

*

?a1?S1 (n?1)an??.是重要考点;2)韦达定理应引起重视;3)迭代法、

S?S (n?2,n?N)n?1?n

累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

3

【题型3】中项公式与最值(数列具有函数的性质)

例3(2009汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n?N),公比q?(0,1),且a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,a3与as的等比中项为2。(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2 an,数列{bn}的前n项和为Sn当

SS1S2

??????n最大时,求n的值。

12n

2

2

解:(1)因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以,a3 + 2a3a5 +a5=25 又an>o,?a3+a5=5 又a3与a5的等比中项为2,所以,a3a5=4 而q?(0,1),所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1,q?

1

,a1=16,所以, 2

?1?

an?16???

?2?

n?1

?25?n

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1,

所以,{bn}是以4为首项,-1为公差的等差数列。所以,Sn?所以,当n≤8时,

n(9?n)Sn9?n

,?

2n2

SnSS

>0,当n=9时,n=0,n>9时,n<0, nnn

SSS

当n=8或9时,1?2?????n最大。

12n

小结与拓展:1)利用配方法、单调性法求数列的最值;2)等差中项与等比中项。

二、数列的前n项和 1.前n项和公式Sn的定义:

Sn=a1+a2+?an。

4

2.数列求和的方法(1)

(1)公式法:1)等差数列求和公式;2)等比数列求和公式;3)可转化为等差、等

比数列的数列;4)常用公式:

?k?1?2?3???n?2n(n?1);

k?1n

n

1

?k

k?1nk?1n

2

?12?22?32???n2?n(n?1)(2n?1);

6n(n?1)2

1

?k3?13?23?33???n3?[

k?1

]2;

?(2k?1)?1?3?5?...?(2n-1)?n2。

(2)分组求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解。

(3)倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前n项和即是用此法推导的。

(4)裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。 适用于?

?

c?

?其中{an}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含

?anan?1?

??1??阶乘的数列等。如:1)?和?(其中?an?等差)可裂项为:

a?a?nn?1?

11111

?。?(?);2

(根式在分母上时可dan?an?1danan?1考虑利用分母有理化,因式相消 求和)

常见裂项公式:

(1)(2)(3)(4)

1n(n?1)1n(n?k)

1n(n?1)(n?1)

?

1n

?

1n?1

1

?(?

kn

11

n?k

1

);

?

1(n?1)(n?2)

?[

1

1

2n(n?1)

];

n(n?1)!

?

1n!

?

(n?1)!

5

篇二:高一数学数列题型总结

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 3、 等差数列求和公式:S1?an)n?

n(a2?nan(n?1)

1?2

d ?2、等比数列求和公式:S?na1

(q?1)n

n??a?1(1?q)a1?a?1?q

?nq1?q(q?1)

n

4、 S1n

?1) 4、S1

n??k?(nn??k2?(n?1)(2n?1)

k?12k?1

6n

5、 Sn?

?k3?[1(n?1)]2 k?1

2[例1] 已知log?13x?

log,求x?x2?x3?????xn

????的前n项和. 23

解:由log?13x?

log?log?x?1

3x??log32

232

由等比数列求和公式得 Sn?x?x2?x3?????xn 用常用公式)

1n

=x(1?x)2(1?1

n)

1?x

=1-1 1?12n2

[例2] 设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求f(n)?

Sn

(n?32)S的最大值.

n?1

解:由等差数列求和公式得 S1n?

2n(n?1), S1

n?2

(n?1)(n?2)用常用公式)

∴ f(n)?

Sn

n(n?32)S=2

n?1n?34n?64

1=

11n?34?

648?

50

2n

(n?

n

)?50

∴ 当

n?

8

1,即n=8时,f(n)max?50

(利

(利

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an2 bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和:Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①

解:由题可知,{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{x通项之积

n?1

}的

xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn

………………………. ②

(设制错位)

①-②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn

(错位相减)

1?xn?1

?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得:(1?x)Sn?1?2x?

1?x

(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)

∴ Sn? 2

(1?x)

[例4] 求数列

2462n

,2,3,???,n,???前n项的和. 2222

2n1

解:由题可知,{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n

设Sn??2?3?????n…………………………………①

2222

12462nSn?2?3?4?????n?1………………………………②22222

(设制错位)

1222222n

(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1

2222222

(错位相减)

?2?

1

2n?1

n?2

∴Sn?4?n?1

2

?

2n

n?1

2

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),

再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1?an).

012n

[例5] 求证:Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n

012n

证明: 设Sn?Cn………………………….. ① ?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn

把①式右边倒转过来得

nn?110

Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn

(反序)

mn?m

又由Cn可得 ?Cn

01n?1n Sn?(2n?1)Cn…………..…….. ② ?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn

①+②得

01n?1n

2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n

(反序相加)

∴Sn?(n?1)?2n

[例6] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值

解:设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ①

将①式右边反序得

S?sin89?sin88?????sin3?sin2?sin1

2

?

2

?

2

?

2

?

2

?

2

?

2

?

2

?

2

?

2

?

2?

2

?

2

?

2

?

2

?

…………..②

(反序)

又因为 sinx?cos(90?x),sinx?cosx?1 ①

+

?

2

2

(反序相加)

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)=89

∴ S=44.5

四、分组法求和

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和:1?1,

111

?4,2?7,???,n?1?3n?2,… aaa111

解:设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)

aaa

将其每一项拆开再重新组合得

Sn?(1?

(分组)

111

?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2)aaa

Sn?n?当a=1时,

组求和)

(3n?1)n(3n?1)n

= (分22

1n(3n?1)na?a1?n(3n?1)n?当a?1时,Sn?= ?a?1221?a

1?

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解:设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ Sn?

?k(k?1)(2k?1)=?(2k

k?1

k?1

nn

3

?3k2?k)

将其每一项拆开再重新组合得

n

Sn

2?k?3?k??k

3

2

k?1

k?1

k?1

nn

(分组)

=2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)

n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)

??222

(分组求和)

n(n?1)2(n?2)

2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:

sin1???

(1)an?f(n?1)?f(n) (2) ?tan(n?1)?tann??

cosncos(n?1)

111(2n)2111

??(3)an?(4)an??1?(?)

n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

(5)an?

1111

?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)

(6)

an?

n?212(n?1)?n1111

?n??n??,则S?1?n

n(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n

11?2

,

12?:

[例9] 求数列,???,

1n?n?1

,???的前n项和.

1n?n?1

an?

?n?1?n

(裂项)

Sn?

11?2

?

12??????

1n?n?1

(裂项求和)

=(2?)?(3?2)?????(n?1?n) =n?1?1 [例10] 在数列{an}中,an?n项的和.

解:∵ an?

12n2

??????,又bn?,求数列{bn}的前n?1n?1n?1an?an?1

12nn??????? n?1n?1n?12

bn?

211

?8(?)

nn?1nn?1?22

(裂项)

∴ 数列{bn}的前n项和

Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(

121213131411?)] nn?1

(裂项求和)

=8(1?

8n1

) =

n?1n?1

111cos1?

???????[例11] 求证:

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?

解:设S?

111

??????

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?

sin1?

?tan(n?1)??tann???

cosncos(n?1)

(裂项)

篇三:新课程高中数学数列题型总结

高中数学数列复习题型总结

1.等差等比数列 (n?1)??S1

2.Sn与an的关系:an?? ,已知Sn求an,应分n?1时a1?n?2

??Sn?Sn?1(n?1)

时,an= 两步,最后考虑a1是否满足后面的an.

基础题型

题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列) A)根据基本量求解(方程的思想)

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a4?9,a9??6,Sn?63,求n;

2、等差数列?an?中,a4?10且a3,a6,a10成比数列,求数列?an?前20项的和S20. 3、设?an?是公比为正数的等比数列,若a1?1,a5?16,求数列?an?前7项的和.

4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.

B)根据数列的性质求解(整体思想)

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a6?100,则S11? 2、设Sn、Tn分别是等差数列?an?、?an?的前n项和,

Sn7n?2a

,则5?. ?

Tnn?3b5

a55S9

?,则?( ) 3、设Sn是等差数列?an?的前n项和,若

a39S5

Sa2n

4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n?,则n=( )

Tn3n?1bn

5、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,Sn?m,Sm?n(n?m),则Sm?n?题型二:求数列通项公式: A) 给出前几项,求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,?,

B)给出前n项和求通项公式

1、⑴Sn?2n2?3n; ⑵Sn?3n?1.

2n-1

2、设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…+3an?

3,-33,333,-3333,33333……

n

(n?N*),求数列?an?的通项公式 3

C)给出递推公式求通项公式

a、⑴已知关系式an?1?an?f(n),可利用迭加法或迭代法;

例:1.已知数列{an}满足a1?

11,an?1?an?2,求数列{an}的通项公式。 24n?1

2. 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1,a1?1,求数列{an}的通项公式。

3.已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1,a1?3,求数列{an}的通项公式。 4.设数列{an}满足a1?2,an?1?an?3?22n?1,求数列{an}的通项公式

b、已知关系式an?1?an?f(n),可利用迭乘法.

例:1. 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an,a1?3,求数列{an}的通项公式。

2n

an,求an。 ,an?1?

3n?13n?1

an (n?1),求an。 3.已知a1?3,an?1?

3n?2

c、构造新数列待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)

2.已知数列?an?满足a1?

解题基本步骤:1、确定f(n)2、设等比数列?an??1f(n)?,公比为3、列出关系式

an?1??1f(n?1)??2[an??2f(n)]

4、比较系数求?1,?25、解得数列?an??1f(n)?的通项公式6、解得数列?an?的通项公式

例:1. 已知数列{an}中,a1?1,an?2an?1?1(n?2),求数列?an?的通项公式。

2.(2006,重庆,文,14)在数列?an?中,若a1?1,an?1?2an?3(n?1),则该数列的通项

an?______________

3.(2006. 福建.理22.本小题满分14分)已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).求数列?an?的通项公式;

4.已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n,a1?6,求数列?an?的通项公式。 解:设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

5. 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4,a1?1,求数列{an}的通项公式。 解:设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

511n?1

,an?1?an?(),求an 632

7. 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5,a1?1,求数列{an}的通项公式。

6.已知数列?an?中,a1?

解:设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)

8. 已知数列{an}满足an?1?2an?4?3n?1,a1?1,求数列?an?的通项公式。 d、给出关于Sn和an的关系 解法:把Sn换为an

例1、设数列?an?的前n项和为Sn,已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?),设bn?Sn?3n, 求数列?bn?的通项公式.

2

例2、设Sn是数列?an?的前n项和,a1?1,Sn?an?Sn?

⑴求?an?的通项; ⑵设bn?

?

?

1?

?(n?2). 2?

Sn

,求数列?bn?的前n项和Tn. 2n?1

(6)根据条件找n?1与n项关系

151

例1.已知数列{an}中,a1?1,an?1?C?,若C?,bn?,求数列{bn}的通项公式

an2an?2

1n?1

a1?1,an?1?(1?)an?n

{a}n2 2.(2009全国卷Ⅰ理)在数列n中,

abn?n

n,求数列{bn}的通项公式 (I)设

(7)倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例:1. 已知数列{an}满足an?1?

2an

,a1?1,求数列{an}的通项公式。 an?2

(8)对无穷递推数列

消项得到第n?1与n项的关系

例:1. (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列{an}满足

a1?1,an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2),求{an}的通项公式。

题型三:证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,bn?

Sn

(n?N?).求证:数列?bn?是等差数列. n

例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=数列;

B)证明数列等比

11

.求证:{}是等差

Sn2

?1?

例1、设{an}是等差数列,bn=??,求证:数列{bn}是等比数列;

?2?

n

例2、设Sn为数列?an?的前n项和,已知ban?2??b?1?Sn

n?1

⑴证明:当b?2时,an?n?2是等比数列;⑵求?an?的通项公式

an

??

例3、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). ⑴证明:数列?an?1?an?是等比数列;⑵求数列?an?的通项公式;

⑶若数列?bn?满足4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数列. 题型四:求数列的前n项和 基本方法: A)公式法,

?na1(q?1)

n(a1?an)n(n?1)?Sn??na1?dSn??a1(1?qn) 公比含字母时一定要讨论

(q?1)22??1?q

例:1.已知等差数列{an}满足a1?1,a2?3,求前n项和{Sn}

2. 等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( ) A.9B.10 C.11 D.12

3.已知等比数列{an}满足a1?1,a2?3,求前n项和{Sn} B)拆解求和法.

例1、求数列{2n?2n?3}的前n项和Sn.

23,?,(n?例2、求数列1,

1214181),?的前n项和Sn. 2n

例3、求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n+3) C)裂项相消法,数列的常见拆项有:

11111

?(?);?n?1?n;

n(n?k)knn?k?n?1

111????例1、求和:S=1+ 1?21?2?31?2?3???n1111

?????例2、求和:. 2?13?24?3n?1?nx2

例、设f(x)?,求:

1?x2⑴f()?f()?f()?f(2)?f(3)?f(4);

⑵f()?f()???f()?f(2010).)?f()?f(2)???f(2009

D)倒序相加法,

E)错位相减法,

例、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3n,求此数列的前n项和Sn 例:1.求和Sn?1?2x?3x2???nxn?1

2.求和:Sn?

123n?2?3???n aaaa

3.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1?b1?1,a3?b5?21,

?an?

(Ⅱ)求数列??的前n项和Sn. a5?b3?13 (Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;

?bn?

F)对于数列等差和等比混合数列分组求和

2

例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 题型五:数列单调性最值问题

例1、数列?an?中,an?2n?49,当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时,n?例3、数列?an?中,an?3n2?28n?1,求an取最小值时n的值. 例4、数列?an?中,an?n?

例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和,a1?25,a4?16.当n为何值时,Sn取得最大值;

n2?2,求数列?an?的最大项和最小项.

*

例5、设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?a,an?1?Sn?3n,n?N*.

(Ⅰ)设bn?Sn?3n,求数列?bn?的通项公式;(Ⅱ)若an?1≥an,n?N,求a的取值范围. 例6、已知Sn为数列?an?的前n项和,a1?3,SnSn?1?2an(n?2). ⑴求数列?an?的通项公式;

⑵数列?an?中是否存在正整数k,使得不等式ak?ak?1对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由.

例7、非等比数列{an}中,前n项和Sn??(an?1)2, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn?

有Tn?

1

4

1

(n?N*),Tn?b1?b2???bn,是否存在最大的整数m,使得对任意的n均

n(3?an)

m

总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明理由。 32

综合练习:

1.设数列{an}满足a1?0且(1)求{an}的通项公式 (2)设bn?

2.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1?3a2?1,a3?9a2a6 (1)求数列{an}的通项公式

a1a2

(2)设bn?log3?log3?...?log3n,求数列{

a

11

??1

1?an?11?an

n

1?an?1

n

,记Sn??bk,证明:Sn?1

k?1

2

1

的前n项和 bn

3.已知等差数列{an}满足a2?0, a6?a8??10. (1)求数列{an}的通项公式及Sn (2)求数列{

an

的前n项和 n?12