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北师大版高中数学选修2-2第三章导学案

时间:2017-01-13 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:高二数学学案(选修2-3) 第三章

3.1回归分析的基本思想及其初步应用

学习目标:1. 能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法

2. 会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系.会利用残差及R来刻画线性回归模型的拟合效果

3. 能记住建立回归模型的方法和步骤;能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型

学习重点:建立变量之间的线性回归方程,能根据散点图初步判断两个变量之间是否具有线

性关系

学习难点:1.会求线性回归方程

2.掌握建立回归模型的步骤,会选择回归模型,特别是非线性回归模型 学习过程: 一、知识探究 1.回归分析

(1)函数关系是一种 关系,而相关关系是一种 关系 (2)回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 (3)对于一组具有线性相关关系的数据?x1,y1?,?x2,y2?,??xn,yn?,

回归直线y?bx?a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

2

b?, a?其中x?y? (4)相关系数r:衡量两个变量之间线性关系的强弱

计算公式:r? =

注:①r?0时,表明两个变量相关;r?0时,表明两个变量相关

②r越接近于,表明两个变量线性相关性越强

?

??

?

r越接近于

在线性回归模型y?bx?a?e(其中a和b为模型的未知参数)中,e称为 ,自变量x称为 ,因变量y称为 探究:① 产生随机误差的原因

② 线性回归模型与一次函数的不同 3.残差

(1)定义:在回归分析中,对应于样本点?x1,y1?,?x2,y2?,??xn,yn?的随机误差

ei(i?1,2,?,n)的估计值称为相应

于点?xi,yi?的(2)残差图:以 为横坐标,为纵坐标作出的图形称为残差图. 注:残差图是用来刻画回归效果的,判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中,

说明选用的模型比较合适,带状区域越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程预报精度越高 (3)残差分析:

在研究两个变量间的关系时,首先要根据来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后,通过残差来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在 ,这方面的分析工作称为残差分析 4.相关指数R

相关指数R可以用来刻画回归的效果,其计算公式是R?

??

在线性回归模型中,R越大,意味着残差平方和??yi?yi?越小,即模型的拟合效

?i?1?

2

2

2

2

n

2

果,R越小,意味着残差平方和越大,即模型的拟合效果注:在含有一个解释变量的线性回归模型中,R恰好等于相关系数r的平方

2

2

当回归方程不是形如y?bx?a?a,b?R?时,称之为 , 非线性回归方程也可以

(1)将幂函数型函数y?axn(a为常数,a,x,y均取正值)化为线性函数:将y?axn两边取常用对数,则有,

令??lgy,??lgx,b?lga代入上式得(其中n,b是常数), 其图象是一条直线

(2)将指数型函数y?cax(a?0,c?0,a,c为常数,且a?0)化为线性函数:将y?cax两边取常用对数,则有,

令??lgy,b?lgc,d?lga代入上式得(其中d,b是常数), 其图象是一条直线 6.建立回归模型的基本步骤:

(1)确立研究对象,明确哪个变量是 ,那个变量是 (2)画好确定好的解释变量和预报变量的 ,观察它们之间的关系(如是否

存在线性关系等) (3)由经验确定回归方程的类型

(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数

(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的

规律性等等),若存在差异,则检验数据是否有误,或模型是否合适等 注:有关回归方程需要注意下列问题

① 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体 ② 我们所建立的回归方程一般都有时间性 ③ 样本取值的范围会影响回归方程的适用范围

④ 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值 二、理论迁移

例1:(1)如果记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,4),(2,7),(3,10),则y关于x的线性

回归直线必过点( )

A. (2,2) B. (15,2)C. (1,2) D. (1.5,5.5)

(2)下列四个命题中正确是( )

① 在线性回归模型中,e是bx+a预报真实值y的随机误差,它是一个观测的量; ② 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好;

③ 用R来刻画回归方程,R越小,拟合的效果越好;

④ 在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合

适,若带状区域宽度越窄,说明拟合精度越高回归方程的预报精度越高. A.①③ B.②④C.①④ D.②③

(3)在两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型.它们的相关指数R如下,

其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R为0.98

B.模型2的相关指数R为0.80 C.模型3的相关指数R为0.50 D.模型4的相关指数R为0.25 题型一求线性回归方程

例2:某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

2222

2

2

2

(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程

(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩

题型二线性回归分析

例3:为研究重量x(单位:克)对弹簧长度y(单位:厘米)的影响,对不同重量的6个物体进行测量,数据如下表所示:

(1)作出散点图并求线性回归方程 (2)求出R2

(3)

进行残差分析

例4:已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据:

求y对x的回归直线方程,并说明回归模型拟合效果的好坏

篇二:北师大版高中数学选修2-1导学案第2章全

2.1.1平面向量的复习

一、教学目标:复习平面向量的基础知识,为学习空间向量准备。 二、教学重点:平面向量的基础知识。 教学难点:运用向量知识解决具体问题 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、基本概念

向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积、射影。 (二)、基本运算 1、向量的运算及其性质 运算类型 几何方法 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 向 量

坐标方法 运算性质

????

a?b?b?a ?????

(a?b)?ca?b?

???

(x1?x2,y1?y2)?a?(b?c)

??

三角形法则

??a?b?

??

(x1?x2,y1?y2)

????

a?b?a?(?b)

??

?

a是一个向量,满

?a?(?x,?y)

?

?(?a)?(??)a

??

足:

的 乘 法

??

>0时,?a与a同

向;

??

?<0时,?a与a异

?

(???)a

?? ??a??a

????

?(a?b)??a??b

向;

?

?=0时, ?a????

a∥b?a??b ????a?b?b?a

????

(?a)?b?a?(?b)

????(a?b)

??a?b?

x1x2?y1y2

??

a?b是一个数

向 量 的 数 量 积

????

?0或b?0时,

??a?b=0

????

?0且b?0时,

???(a?b)?c

???? ?a?c?b?c??a2?|a|2

?

|a|?

??????a?b?|a||b|cos(a,b)

????|a?b|?|a||b|

2、平面向量基本定理:

如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数?1,?2,使

?

a?;

?

??

注意:OP?(OA?OB),OP??OA?(1??)OA的几何意义

12

??

3、两个向量平行的充要条件: ⑴ a//b的充要条件是: ;(向量表示)

????

⑵ 若a?(x1,y1),b?(x2,y2),则a//b的充要条件

是: ;(坐标表示)

??

4、两个非零向量垂直的充要条件: ⑴ a?b的充要条件是:;(向量表示)

????

⑵ 若a?(x1,y1),b?(x2,y2),则a?b的充要条件

是:;(坐标表示) (三)、课堂练习

1.O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若( -)·(+-2)=0,则?ABC是( ) A.以AB为底边的等腰三角形B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形D.以BC为斜边的直角三角形 2.P是△ABC所在平面上一点,若PA?PB?PB?PC?PC?PA,则P是△ABC的( )

A.外心 B.内心C.重心D.垂心 3.在四边形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形ABCD是()

A. 矩形B. 菱形C.直角梯形 D.等腰梯形

??????????

45?4.已知|p|?|q|?3,p、q的夹角为,则以a?5p?2q,

????

b?p?3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )

???

?????????

A.15 B. 14 D.16 5.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满

足???,

??[0,??)则P的轨迹一定通过△ABC的()

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (四)、作业布置

1.设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )

A.(?,2)?(2,??) B.(2,??) C.(?,??) D.(??,?)

2.若??2,3?,???4,7?,??,则在方向

北师大版高中数学选修2-2第三章导学案

上的投影为 。

????????

3.向量OA?(k,1),OB?(4,5),OC?(?k,10),且A,B,C三点共线,则k= .

4.在直角坐标系xoy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=

5.在?ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM=2,则?(?)的最小值是__________。

1

2

1212

2.1.2从平面向量到空间向量

篇三:北师大版数学【选修2-2】《函数的极值》导学案(含答案)

第2课时 函数的极值

1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法.

3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断方程的根的个数等问题.

若函数f(x)的定义域为区间(a,b),导数f'(x)在(a,b)内的图像如图所示,用极值的定义你能判断函数f(x)在(a,b)内的极小值点有几个吗?

问题1:判断函数y=f(x)的极值的一般方法 解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时:

(1)如果在x0附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是 ; (2)如果在x0附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是 . 问题2:用导数求函数极值的方法和步骤

如果y=f(x)在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值. 第一步,求导数f'(x).

第二步,求方程 的根x=x0.

第三步,判断x=x0是不是函数的极值点,若是,则求f(x0)的值,即为 ,若不是,则 . 问题3:函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?与函数单调性的关系呢? 函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数单调性的升华.

1.已知f'(x0)=0,则下列结论中正确的是( ).

A.x0一定是极值点

B.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值 C.如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极小值 D.如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值 2.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和,则( ).

A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0

3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m= . 4.若y=x3+kx在R上无极值,求k的取值范围.

函数的极值与导数的关系

求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值与极值点.

利用函数极值确定参数的值

已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.

含有参数的函数极值的方法与讨论 已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.

求函数f(x)=+3ln x的极值与极值点.

设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值;

(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.

1.函数f(x)=x3-3x2-9x(-2<x<2)有().

A.极大值5,极小值-27 B.极大值5,极小值-11 C.极大值5,无极小值 D.极小值-27,无极大值

2.函数y=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围是( ).

A.0<b<1 B.b<1

C.b<0或b>1 D.b>0

3.若函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则“f'(x0)=0”是“x0为函数y=f(x)的极值点”的 条件. 4.已知f(x)=x3+mx2-2m2x-4(m为常数,且m>0)有极大值-,求m的值.

(2014年·全国卷)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( ).

A.(2,+∞)

B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)

考题变式(我来改编):

答案

第2课时 函数的极值

知识体系梳理

问题1:(1)极大值 (2)极小值 问题2:f'(x)=0 极值 无极值 基础学习交流

1.B 直接根据极值概念判断,也可画出图像进行分析.

2.D y'=3ax2+2bx,据题意,0、是方程3ax2+2bx=0的两根,∴-=,∴a+2b=0.

3.-19 y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得

m=-19.

4.解:y'=3x2+k,∵y=x3+kx在R上无极值, ∴y'≥0恒成立,∴k∈[0,+∞).

重点难点探究

探究一:【解析】f'(x)=3x2-6x-9. 解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f'(x),f(x)

由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10,x=-1是极大值点;当x=3时,f(x)有极小值f(3)=-22,x=3是极小

值点.

【小结】求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数f(x)的定义区间,求导数f'(x); (2)求方程f'(x)=0的根;

(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.探究二:【解析】因为f(x)在x=-1时有极值0,

且f'(x)=3x2+6ax+b,

所以解得

当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).

当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.

【小结】(1)利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.

探究三:【解析】(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a).

当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,

∴当a<0时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);

当a>0时,由f'(x)>0解得x<-或x>

,