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2011年全国高中数学联赛贵州

时间:2017-01-14 来源:唯才教育网 本文已影响

篇一:2011 年全国高中数学联赛贵州省预赛

篇二:2011年全国高中数学联赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题(每小题8分,共64分)

1.设集合A?{a1,a2,a3,a4},若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B?{?1,3,5,8},则集合A?.

2.函数f(x)?

x2?1

的值域为. x?1

3.设a,b为正实数,

11

??22,(a?b)2?4(ab)3,则logab? ab

4.如果cos5??sin5??7(sin3??cos3?),??[0,2?),那么?的取值范围是. 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为.(用数字作答)

6.在四面体ABCD中,已知?ADB??BDC??CDA?60?,AD?BD?3,CD?2,则四面体ABCD的外接球的半径为.

7.直线x?2y?1?0与抛物线y2?4x交于A,B两点,C为抛物线上的一点,?ACB?90?,则点C的坐标为.

8.已知an?Cn?36200

?

200?n

?1?

?(n?1,2,?,95),则数列{an}中整数项的个数为. ?????2?

n

二、解答题(本大题共3小题,共56分)

9.(16分)设函数f(x)?|lg(x?1)|,实数a,b(a?b)满足f(a)?f(?

f(10a?6b?21)?4lg2,求a,b的值.

b?1

),b?2

10.(20分)已知数列{an}满足:a1?2t?3(t?R且t??1),

an?1

(2tn?1?3)an?2(t?1)tn?1

?(n?N*). n

an?2t?1

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若t?0,试比较an?1与an的大小.

1x2y2

11.(本小题满分20分)作斜率为的直线l与椭圆C:??1交于A,B两点(如

3364

图所示),且P(32,2)在直线l的左上方.

(1)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;

(2)若?APB?60?,求△PAB的面积.

解 答

1.{?3,0,2,6}. 提示:显然,在A的所有三元子集中,每个元素均出现了3次,所以

3(a1?a2?a3?a4)?(?1)?3?5?8?15,

故a1?a2?a3?a4?5,于是集合A的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此,集合A?{?3,0,2,6}.

2

.(??,???

?(1,??). 提示:设x?tan?,????,且??,则

2241

1

f(x)?cos???

tan??1sin??cos?

12sin(??

4

. )

12?

]?(1,??). 设u?2sin(??),则?2?u?1,且u?0,所以 f(x)??(??,?

u24

3.-1. 提示:由

11

??22,得a?b?22ab.又 ab

(a?b)2?4ab?(a?b)2?4ab?4(ab)3?4?2ab?(ab)3?8(ab)2,

a?b?22ab. ①

于是

a?b?2ab. ②

??a?2?1,??a?2?1,

再由不等式①中等号成立的条件,得ab?1.与②联立解得?或?

???b?2?1,?b?2?1,

故logab??1.

4.?

??5??

,?. 提示:不等式 ?44?

cos5??sin5??7(sin3??cos3?)

等价于

11

sin3??sin5??cos3??cos5?.

77

又f(x)?x3?

15

x是(??,??)上的增函数,所以sin??cos?,故 7

2k??

?

4

???2k??

5?

(k?Z). 4

因为??[0,2?),所以?的取值范围是?

??5??,?. ?44?

5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:

1

?5!?3600种方案; (1)有一个项目有3人参加,共有C73?5!?C5

1

(2)有两个项目各有2人参加,共有(C72?C52)?5!?C52?5!?11400种方案;

2

所以满足题设要求的方案数为3600?11400?15000.

6

提示:设四面体ABCD的外接球球心为O,则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上.由题设知,△ABD是正三角形,则点N为△ABD的中心.设P,M分别为AB,CD的中点,则N在DP上,且ON?DP,OM?CD.

因为?CDA??CDB??ADB?60?,设CD与平面ABD所成角为?,可求得

co?s?

13,si?n?

23

1223

CD?1,DN??DP???3?. 2332

13

在△DMN中,DM?由余弦定理得

D

A B

MN2?12?()2?2?1?3??2,

故MN?.四边形DMON的外接圆的直径

OD?

MN

?sin?

223

?3.

故球O的半径R?3.

7.(1,?2)或(9,?6).提示: 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(t2,2t),由?

y2?8y?4?0,则y1?y2?8,y1?y2??4.

?x?2y?1?0,

得 2

y?4x,?

又x1?2y1?1,x2?2y2?1,所以

x1?x2?2(y1?y2)?2?18, x1?x2?4y1?y2?2(y1?y2)?1?1.

因为?ACB?90?,所以??0,即有

(t2?x1)(t2?x2)?(2t?y1)(2t?y2)?0,

t4?(x1?x2)t2?x1?x2?4t2?2(y1?y2)t?y1?y2?0,

t4?14t2?16t?3?0,

(t2?4t?3)(t2?4t?1)?0.

显然t2?4t?1?0,否则t2?2?2t?1?0,则点C在直线x?2y?1?0上,从而点C与点A或点B重合.所以t2?4t?3?0,解得t1??1,t2??3.

故所求点C的坐标为(1,?2)或(9,?6).

8.15. 提示:an?C

n

200

200?n3

400?5n6

?3?2.

要使an(1?n?95) 为整数,必有

200?n400?5n

均为整数,从而6|n?4. ,

36

200?n400?5n

和均为非负整数,所

63

当n?2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时,以an为整数,共有14个.

?338?2?5,在C86当n?86时,a86?C86?200200

200!

中,200!中因数2的个数为

86!?114!

?200??200??200??200??200??200??200?

?2???22???23???24???25???26???27??197, ??????????????

同理可计算得86!中因数2的个数为82,114!中因数2的个数为110,所以C86200中因数2的个数为197?82?110?5,故a86是整数.

?336?2?10,在C92当n?92时,a92?C92?200200

200!

中,同样可求得92!中因数2的个数为

92!?108!

a88,108!中因数2的个数为105,故C86200中因数2的个数为197?88?105?4,故92不是整数.

因此,整数项的个数为14?1?15.

9.因为f(a)?f(?

b?1

),所以 b?2

|lg(a?1)|?|lg(?

b?11

?1)|?|)|?|lg(b?2)|, b?2b?2

所以a?1?b?2或(a?1)(b?2)?1,又因为a?b,所以a?1?b?2,所以(a?1)(b?2)?1.

又由f(a)?|lg(a?1)|有意义知0?a?1,从而

0?a?1?b?1?b?2,

于是

0?a?1?1?b?2.

所以

(10a?6b?21)?1?10(a?1)?6(b?2)?6(b?2)?

10

?1. b?2

从而

f(10a?6b?21)?|lg[6(b?2)?

1010

]|?lg[6(b?2)?]. b?2b?2

f(10a?6b?21)?4lg2,

所以

lg[6(b?2)?

10

]?4lg2, b?2

故6(b?2)?

101

. ?16 .解得b??或b??1(舍去)

b?23

12

把b??代入(a?1)(b?2)?1解得a??.

35

所以 a??

21

,b??. 53

10.(1)由原式变形得

an?1

2(tn?1?1)(an?1)

??1,

an?2tn?1

2(an?1)nan?1?12(an?1)t?1. ??n?1n

t?1an?2t?1an?1

?2tn?1

记又

2bnan?1a1?12t?2

b?,则,?bb???2.n?1n1

bn?2tn?1t?1t?111111

??,?,从而有 bn?1bn2b12

111n??(n?1)??, bnb122

an?122(tn?1)

故 n?,于是有 an??1.

t?1nn

2(tn?1?1)2(tn?1)(2)an?1?an? ?

n?1n

??

2(t?1)

?n(1?t???tn?1?tn)?(n?1)(1?t???tn?1)?

2011年全国高中数学联赛贵州

n(n?1)

2(t?1)

?ntn?(1?t???tn?1)??2(t?1)?(tn?1)?(tn?t)???(tn?tn?1)?

n(n?1)n(n?1)

2(t?1)2n?1n?2

?(t?t???1)?t(tn?2?tn?3???1)???tn?1?, ?

n(n?1)

显然在t?0(t?1)时恒有an?1?an?0,故an?1?an.

11.(1)设直线l:y?

1

x?m,A(x1,y1),B(x2,y2). 3

1x2y2

将y?x?m代入??1中,化简整理得

3364

2x2?6mx?9m2?36?0.

篇三:2010年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛

贵州赛区预赛

试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求,在方法的要求上有所提高,主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况,包括8道填空题和3道解答题,全卷满分120分,考试时间为150分钟.

试 题

二、填空题(每小题8分,共64分)

1、已知函数f(x)?x2?2ax?3a2,且方程f(x)?8有三个不同的实根,则实数a= . 2、设?x?表示不超过x的最大整数,则?lg1???lg2???lg3???????lg2010??.

3、l1,l2,???,l100为100条共面且不同的直线,若其中编号为4k(k?N?)的直线互相平行,编号为

4k?1的直线都过定点A.则这100条直线的交点个数最多为4、若将半径为12cm四个篮球在水平地面上任意堆放,则你能堆放的最大高度是 cm. 5、若抛物线y?2x的焦点是F,准线是l,点M(2,m)是抛物线上一点,则经过点F、M且与

2

l相切的圆一共有.

6、若直线ax?by?2?0(a?0,b?0)和函数y?logc(x?2)?2(c?0且c?1)的图象恒过同一个定点,则

11

?的最小值为ab

?

7、 若e?lncos??e

cos?

?lnsin?,且???0,2??,则角?的取值范围是.

8、已知半径分别为2,3的两圆外切于T,直线MN为此两圆的外公切线且M,N分别为切点,则

MT

? NT

二、解答题(第9小题16分,第10小题20分,第11小题20分,共56分)

x2y2

9、已知椭圆2?2?1(a?b?0),过坐标原点O的直线l交椭圆于A、B两点,C是椭圆上的

ab

????????????????

一点,且满足OA?OC?OB?OC.

(1)求证:2?2是定值;

11

OAOC

(2)求?ABC面积的最小值.

10、已知数列?an?满足a1?1,a2?6,4an?1?an?1?4an(n?2)。 (1)求数列?an?的通项公式; (2)求数列?an?的前n项和Sn.

a3?b3?c3

11、已知a,b,c是Rt?ABC的三边,c为斜边,若y?,求y的取值范围. 2

c(a?b?c)

2010年全国高中数学联赛

贵州赛区预赛解答

22

1、 方程f(x)?8有三个不同的实根,即函数y?x?2ax?3a的图象与直线y?8有三个交

222

点,由图象知,f(a)?8?a?2a?3a?8?a?.

2、因为

1?k?9??lgk??0, 10?k?99??lgk??1,

100?k?999??lgk??2,1000?k?2010??lgk??3

所以

?lg1???lg2???lg3???????lg2010??90?1?900?2?1011?3?4923.

2

3、100条直线任意两条的组合有C100,其中编号为4k(k?N)的直线互相平行,编号为4k?1的直

?

线都过定点A,所以这100条直线的交点个数最多为

222

C100?C25?C25?1?4351.

4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上,其中球心相连形成棱长为24cm

的四面体,此四面体的高为

,所以能堆放的最大高度应是24?.

5、因为点M(2,m)在抛物线y?2x上,所以m??2,即M(2,?2),又焦点F?

2

?1?

,0?,由抛物?2?

线的定义知,过点F、M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有四个,故过点F、M且与l相切的圆共有四个.

6、因为函数y?logc(x?2)?2的图象恒过点??1,2?,故?a?2b?2?0,即又因为a?0,b?0,所以

1

a?b?1. 2

11?1??11?3ba3???a?b?????????

ab?2ab2a2b2???

等号当且仅当a?7、由

时成立.

e

?

?lncos??e

cos?

?lnsin??e

sin?

?lnsin??e

cos?

?lncos?,